Kuкush
1) так как подкоренное выражение неотрицательно, то 1-2sin(4x)≥0 ⇒ sin(4x)≤1/2. 2) Так как левая часть также неотрицательна, то cos2x≤0. 3) С учетом вышеуказанных условий возведем обе части в квадрат, получим: 1-2sin(4x)=6cos²(2x) cos²(2x)+sin²(2x)-4*sin(2x)cos(2x)-6cos²(2x)=0 sin²(2x)-4*sin(2x)cos(2x)-5cos²(2x)=0 cos²(2x)(tg²(2x)-4*tg(2x)-5)=0 Или cos(2x)=0 или tg²(2x)-4*tg(2x)-5=0 cos(2x)=0 не является решением, так как в этом случае sin(4x)=0 и левая часть равна 1. А правая часть - 0. Остается следующее уравнение: (tg(2x)-5)(tg(2x)+1)=0 tg(2x)=5 или tg(2x)=-1 Если tg(2x)=-1, значит, с учетом условия 2) cos2x<0, cos2x=-1/√2, sin2x>0, sin2x=1/√2. sin4x=-1, то есть, 4x=-π/2+2πn. x=-π/8+πn/2, n∈Z. Если tg(2x)=5, то x=1/2arctg(5)+πn/2,n∈Z С учетом условий 1) и 2) остаются решения: x=1/2arctg(5)+π(2n+1)/2, n∈Z Ответ: x=-π/8+πn/2, n∈Z и x=1/2arctg(5)+π(2n+1)/2, n∈Z
Answers & Comments
2) Так как левая часть также неотрицательна, то cos2x≤0.
3) С учетом вышеуказанных условий возведем обе части в квадрат, получим:
1-2sin(4x)=6cos²(2x)
cos²(2x)+sin²(2x)-4*sin(2x)cos(2x)-6cos²(2x)=0
sin²(2x)-4*sin(2x)cos(2x)-5cos²(2x)=0
cos²(2x)(tg²(2x)-4*tg(2x)-5)=0
Или cos(2x)=0 или tg²(2x)-4*tg(2x)-5=0
cos(2x)=0 не является решением, так как в этом случае sin(4x)=0 и левая часть равна 1. А правая часть - 0.
Остается следующее уравнение: (tg(2x)-5)(tg(2x)+1)=0
tg(2x)=5 или tg(2x)=-1
Если tg(2x)=-1, значит, с учетом условия 2) cos2x<0, cos2x=-1/√2, sin2x>0,
sin2x=1/√2. sin4x=-1, то есть, 4x=-π/2+2πn. x=-π/8+πn/2, n∈Z.
Если tg(2x)=5, то
x=1/2arctg(5)+πn/2,n∈Z
С учетом условий 1) и 2) остаются решения:
x=1/2arctg(5)+π(2n+1)/2, n∈Z
Ответ: x=-π/8+πn/2, n∈Z и x=1/2arctg(5)+π(2n+1)/2, n∈Z