1) √x = ∛(3 - 2x)
Область определения: x >= 0
Возводим обе части в 6 степень.
x^3 = (3 - 2x)^2
x^3 = 4x^2 - 12x + 9
x^3 - 4x^2 + 12x - 9 = 0
x^3 - x^2 - 3x^2 + 3x + 9x - 9 = 0
(x - 1)(x^2 - 3x + 9) = 0
x1 = 1; квадратное уравнение корней не имеет.

2) 1 + sin x = |1 - √3*cos x|
a) При √3*cos x > 1 будет |1 - √3*cos x| = √3*cos x - 1
1 + sin x = √3*cos x - 1
√3*cos x - sin x = 2
Делим все на 2
√3/2*cos x - 1/2*sin x = 1
sin(pi/3)*cos x - cos(pi/3)*sin x = 1
sin(pi/3 - x) = 1
sin(x - pi/3) = -1
x - pi/3 = -pi/2 + 2pi*k
x = pi/3 - pi/2 + 2pi*k = -pi/6 + 2pi*k
Проверяем область определения
cos x = √3/2; √3*cos x = √3*√3/2 = 3/2 > 1 - подходит
x1 = -pi/6 + 2pi*k

b) При √3*cos x < 1 будет |1 - √3*cos x| = 1 - √3*cos x
1 + sin x = 1 - √3*cos x
sin x = -√3*cos x
tg x = -√3
x = -pi/3 + 2pi*k; cos x = 1/2
x = 2pi/3 + 2pi*k; cos x = -1/2
Проверяем область определения:
x2 = -pi/3 + 2pi*k; √3*cos x = √3/2 < 1 - подходит
x3 = 2pi/3 + 2pi*k; √3*cos x = -√3/2 < 1 - подходит

3)
Область определения cos^2 x =/= 1
cos x =/= 1; x =/= 2pi*k; cos x =/= -1; x =/= pi + 2pi*k
Область определения: x =/= pi*k
Умножаем все на
cos^2(2x) = sin^2(2x) + 1
cos^2(2x) - sin^2(2x) = 1
cos(4x) = 1
4x = 2pi*n
x = pi/2*n
Но по области определения x =/= pi*k, поэтому
x = pi/2 + pi*n

4)
Умножаем все на x^2
1/x^2 + 3/x + 4 + 3x + x^2 = 0
(x^2 + 1/x^2) + 3(x + 1/x) + 4 = 0
Замена x + 1/x = y; тогда y^2 = x^2 + 1/x^2 + 2x*1/x, то есть
x^2 + 1/x^2 = y^2 - 2
y^2 - 2 + 3y + 4 = 0
y^2 + 3y + 2 = 0
(y + 1)(y + 2) = 0
y1 = x + 1/x = -1; x^2 + x + 1 = 0; корней нет
y2 = x + 1/x = -2; x^2 + 2x + 1 = 0; x1 = x2 = -1
Ответ: x = -1