решите пожалуйста В квадрате со стороной 5 см расположено 26 точек. Докажите, чт...

August 2022 1 0 Report

решите пожалуйста
В квадрате со стороной 5 см расположено 26 точек. Докажите, что среди них существуют две точки, расстояние между которыми не более √2 см.

Answers & Comments

Voxman Разобьём квадрат со стороной 5 см на 25 квадратов со стороной 1 см. Будем рассматривать их как контейнеры. Точка попадает в контейнер, если она лежит либо на его сторонах, либо во внутренней области. Тогда, по принципу Дирихле, хотя бы в одном из контейнеров окажется две точки. [Некоторые точки могут попасть сразу в четыре контейнера (если такая точка упадёт на вершину квадрата, которая не лежит на стороне исходного квадрата), но для нас важно, что любая точка с необходимостью попадает хотя бы в один.]
Итак, в одном из контейнеров содержится две точки. Вспомним, что наш контейнер не что иное, как квадрат со стороной в 1 см.
Покажем, что расстояние между двумя точками квадрата со стороной в 1 см не превышает √2. Рассмотрим квадрат ABCD (рис.1) со стороной равной 1 см и две произвольные точки, которые лежат на квадрате.

$\displaystyle z_1 = (x_1, \ y_1), \ z_2 = (x_2, \ y_2)\\\\
d(z_1, z_2) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}\\\\
0 \leq x_1 \leq 1, \ 0 \leq x_2 \leq 1, \ 0 \leq y_1 \leq 1, \ 0 \leq y_2 \leq 1\\\\ - 1 \leq x_1 - x_2 \leq 1, \ - 1 \leq y_1 - y_2 \leq 1\\\\
0 \leq (x_1 - x_2)^2 \leq 1, \ 0 \leq (y_1 - y_2)^2 \leq 1\\\\
0 \leq (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 \leq 1 + 1 = 2\\\\
0 \leq \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} \leq \sqrt{2}$

Что и требовалось доказать.

oganesbagoyan миниатюра по Применения принципа Дирихле на примере . * * * Только max(d) =√2 (между противоположными вершинами квадрата).

Voxman Верно. В условии как раз и сказано, что "не более √2".

oganesbagoyan Обучающий пример: намного интересный чем многочисленные задачи "стоимостью"50 баллов

Voxman Согласен. Но так уж тут повелось.

Newtion В жизни не знал такого принципа... Теперь знаю, благодаря ва :)

Newtion Вам*, Спасибо!

oganesbagoyan С помощью этого принципа решаются многочисленные

oganesbagoyan трудные задачи !

Answers & Comments

4 sm2b7817a56bab8708d2a5e29736a7366a4 67432

4 sm21680b660acfcf65605da6a83e0e4fcfa 37053

9 najdite dve poslednie cifry chisla 1978

pomogitesrochnoozaranee spasibodokazat chto dlya lyubyh naturalnyh n chislo 3

srochno pomogite kakuyu minimalnuyu gorizontalnuyu skorost nuzhno soobshit shariku

2 ot kraya stola koefficient treniya skolzheniya raven k

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social