решите системное уравнение (ответ (1;81); (81;1). Created by bycarovarsenij. matematika-ru

Для удобства введём две замены: и .Решим верхнее уравнение системы отдельно.Подкоренное выражение всегда неотрицательно.Продолжаем решение уравнения.Возведём обе части уравнения в квадрат.Снова возведём обе части в квадрат.По теореме Виета:Подставляем каждое значение и находим :Обратная замена:Данная система имеет две пары решений.Ответ: .

решите системное уравнение (ответ (1;81); (81;1)...

bycarovarsenij @bycarovarsenij

August 2021 1 10 Report

решите системное уравнение (ответ (1;81); (81;1)

Answers & Comments

Veronika724

$\begin{equation*}\begin{cases}\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} = 4\\\sqrt{x} + \sqrt{y} = 10\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}\sqrt{\sqrt{x}} + \sqrt{\sqrt{y}} = 4\\\sqrt{x} + \sqrt{y} = 10\end{cases}\end{equation*}$

Для удобства введём две замены: $t = \sqrt{x}\ ,\ t \geq 0$ и $v = \sqrt{y}\ ,\ v \geq 0$ .

$\begin{equation*}\begin{cases}\sqrt{t} + \sqrt{v} = 4\\t + v = 10\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}\sqrt{t} + \sqrt{v} = 4\\t = 10 - v\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}\sqrt{10-v} + \sqrt{v} = 4\\t = 10 - v\end{cases}\end{equation*}$

Решим верхнее уравнение системы отдельно.

$\sqrt{10-v} + \sqrt{v} = 4$

Подкоренное выражение всегда неотрицательно.

$\begin{equation*}\begin{cases}10 - v \geq 0\\v\geq 0\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}v\leq 10\\v\geq 0\end{cases}\end{equation*}$

Продолжаем решение уравнения.

$\sqrt{10-v} = 4 - \sqrt{v}$

Возведём обе части уравнения в квадрат.

$\left(\sqrt{10-v}\right)^2 = \left(4-\sqrt{v}\right)^2\\\\10 - v = 16 - 8\sqrt{v} + v\\\\10 - v - 16 - v = -8\sqrt{v}\\\\-6-2v = -8\sqrt{v}\\\\-2(3 + v) = -8\sqrt{v}\ \ \ \ \ \Big| :(-2)\\\\3 + v = 4\sqrt{v}$

Снова возведём обе части в квадрат.

$(3+v)^2 = \left(4\sqrt{v}\right)^2\\\\9 + 6v + v^2 = 16v\\\\v^2 + 6v - 16v + 9 = 0\\\\v^2 - 10v + 9 = 0$

По теореме Виета:

$\begin{equation*}\begin{cases}v_{1}v_{2} = 9\\v_{1} + v_{2} = 10\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \ \Big| v = 9; v = 1$

Подставляем каждое значение $v$ и находим $t$ :

$\left[\begin{gathered}\begin{equation*}\begin{cases}t = 10 - v\\v = 9\end{equation*}\\\begin{equation*}\begin{cases}t = 10 - v\\v = 1\end{cases}\end{equation*}\end{gathered}\ \ \ \Leftrightarrow\ \left[\begin{gathered}\begin{equation*}\begin{cases}t = 1\\v = 9\end{equation*}\\\begin{equation*}\begin{cases}t = 9\\v = 1\end{cases}\end{equation*}\end{gathered}$

Обратная замена:

$\left[\begin{gathered}\begin{equation*}\begin{cases}\sqrt{x} = 1\\\sqrt{y} = 9\end{equation*}\\\begin{equation*}\begin{cases}\sqrt{x} = 9\\\sqrt{y} = 1\end{cases}\end{equation*}\end{gathered}\ \ \ \Leftrightarrow\ \left[\begin{gathered}\begin{equation*}\begin{cases}x = 1\\y = 81\end{equation*}\\\begin{equation*}\begin{cases}x = 81\\y = 1\end{cases}\end{equation*}\end{gathered}$

Данная система имеет две пары решений.

Ответ: $(1; 81)\ ,\ (81;1)$ .

1 votes Thanks 2

Veronika724 Так можно решить и через корни четвертой степени, но лично мне неудобно с ними таскаться.

bycarovarsenij спасибо

slozhit chisla 012 i 012 v formate s plavayushej zapyatoj

Answer

bycarovarsenij August 2022 | 0 Ответы

elektrolampy izgotavlivayutsya na treh zavodah 1 yj zavod proizvodit 30 obshego k

Answer

bycarovarsenij August 2022 | 0 Ответы

skolko razlichnyh semiznachnyh chisel ne soderzhashih odinakovyh cifr mozhno zapisa7d5ffa77511827c9acf385cb3bbc280b 66372

Answer

bycarovarsenij August 2022 | 0 Ответы

v shahmatnom turnire uchastvuyut 6 yunoshej i 2 devushki skolkimi sposobami mogut raf30cca39dc1b35a38b75e336b17d60c8 85207

Answer

bycarovarsenij August 2022 | 0 Ответы

na sklad postupilo 2 partii izdelij pervaya 4000 shtuk vtoraya 6000 shtuk sre

Answer

bycarovarsenij August 2022 | 0 Ответы

skolko razlichnyh semiznachnyh chisel ne soderzhashih odinakovyh cifr mozhno zapisa94c7f47690df2ae8bab20a583721f382 30144

Answer

bycarovarsenij August 2022 | 0 Ответы

Answers & Comments

slozhit chisla 012 i 012 v formate s plavayushej zapyatoj

elektrolampy izgotavlivayutsya na treh zavodah 1 yj zavod proizvodit 30 obshego k

skolko razlichnyh semiznachnyh chisel ne soderzhashih odinakovyh cifr mozhno zapisa7d5ffa77511827c9acf385cb3bbc280b 66372

v shahmatnom turnire uchastvuyut 6 yunoshej i 2 devushki skolkimi sposobami mogut raf30cca39dc1b35a38b75e336b17d60c8 85207

na sklad postupilo 2 partii izdelij pervaya 4000 shtuk vtoraya 6000 shtuk sre

skolko razlichnyh semiznachnyh chisel ne soderzhashih odinakovyh cifr mozhno zapisa94c7f47690df2ae8bab20a583721f382 30144

skolko sushestvuet sposobov dlya oboznacheniya s pomoshyu bukv a b c d e f g v53358648a6d3107d53a9423983892ee5 77072

najti veroyatnost togo chto pri broske dvuh igralnyh kostej proizvedenie ochkov

v urne nahoditsya 15 belyh 5 krasnyh i 10 chyornyh sharov naugad izvlekaetsya 3 shar

v shahmatnom turnire uchastvuyut 6 yunoshej i 2 devushki skolkimi sposobami mogut ra

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social