Решите следующее задание: 1) Какую кратность имеет корень 2 для многочлена P(x)=...

Iska1996 @Iska1996

August 2022 1 58 Report

Решите следующее задание:

1) Какую кратность имеет корень 2 для многочлена
P(x)=x^5-5x^4+7x^3-2x^2+4x-8

Answers & Comments

Voxman

Verified answer

Если $a$ – есть целый корень кратности $k$ многочлена $P(x)$ , то многочлен будет делиться нацело на $(x - a)^k$ и не будет делиться нацело на $(x - a)^{k + 1}$ (это следует из теоремы Безу).
Свободный член многочлена делится на все целые корни уравнения (это следует из теоремы Безу). Следовательно, если корень $a$ является целым корнем многочлена, то свободный его член (равный $P(0)$ ) должен делиться на $a^k$ . Число $-8$ делится нацело на $2^3 = 8$ (на число $2^4 = 16$ нацело не делится): значит кратность корня $2$ не может превышать $3$ .
Сперва убедимся, что $2$ вообще является корнем этого многочлена:
$P(2) = 32 - 5*16 + 7*8 - 2*4 + 4*2 - 8 = 0$
Является, т.к. при подстановке многочлен обращается в ноль.
Поделим многочлен $P(x)$ на $(x - 2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$ – если поделится, то корень 2 имеет кратность $3$ :

$P(x) = x^5 - 5x^4 + 7x^3 - 2x^2 + 4x - 8$

$\begin{array}{cccccc@{\;}|cccc} x^5&-5x^4& +7x^3 & -2x^2&+4x&-8&x^3& - 6x^2&+12x& -8\\ \cline{7-10} x^5&-6x^4& +12x^3& -8x^2&&&x^2& + x& +1& \\ \cline{1-4} &x^4&-5x^3&+6x^2&+4x&-8&&&&\\ &x^4&-6x^3&+12x^2&-8x&&&&&\\ \cline{2-5} &&x^3&-6x^2&+12x&-8&&&&\\ &&x^3&-6x^2&+12x&-8&&&&\\ \cline{3-6} &&&&&0&&&&\\ \end{array}$

Т.к. деление выполнилось нацело, то мы можем сказать, что корень имеет кратность $3$ (из-за того, что свободный член не делится на $2^4$ нам не надо проверять делимость многочлена на $(x - 2)^4$ ).

Если бы деление нацело на $(x - 2)^3$ не вышло, нам пришлось бы делить многочлен на $(x - 2)^2$ и т.д.

Ответ: $2$ корень $P(x)$ кратности $3$ .

13 votes Thanks 15

Voxman Сперва поделить на x - 2

Voxman Получить уравнение четвёртого порядка.

Voxman Найти там ещё какой корень, поделить, и т.д.

Voxman Но это муторно.

Voxman Так, давайте в личные сообщения, там и обсудим.

Voxman А может там и правильно.

Iska1996 Так Вы определитесь,мне же всё-таки нужно верное решение

Voxman Перерешаю, думаю, что ошибся в решении.

Iska1996 Если несложно,поподробнее...

IUV с ответом согласен, 2 - корень многочлена кратности 3,
формулы не проверял, но проверил численно в экселе )))
сходится

Answers & Comments

Verified answer

sdelajte uproshennyj risunok elektricheskoj cepi i reshenie

napisat algoritm faktoriala v paskale

dano celoe chislo n gt 0 najti naimenshee celoe polozhitelnoe chislo k kvadr

katety pryamougolnogo treugolnika ravny 15 i 20iz vershiny pryamogo ugla provede

zadanie na risunke40b300a087e91c4b647e6ffaf559f6ea 45596

dva shara s raznymi massami podveshennye na vertikalnyh nityah odinakovoj dlinyl

zadano chislo n vyvesti sootvetstvuyushij element ryada chisel fibonachi11235821

dva sharika podvesheny na vertikalnyh tonkih nityah tak chto oni nahodyatsya na odno

perevedite sleduyushie predlozheniya na anglijskij1kogda ya prishyol domojvkusnyj ob

vesnoj na rekah rossii nablyudayutsya interesnye i opasnye yavleniya prirodya led

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social