1) Решаем методом интервалов. Первое подмодульное выражение меняет знак в точке х=-2, второе - в точке х=3. Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка. Решаем уравнение на каждом промежутке a)(-∞;-2] |x+2|=-x-2 |x-3|=-x+3 Уравнение примет вид -х-2-х+3=7, -2х=6 х= - 3 - 3∈(-∞;-2] и поэтому является корнем уравнения
ответ а)х= -3
б)(-2;3] |x+2|=x+2 |x-3|=-x+3 Уравнение примет вид x+2-x+3=7 0х=2 уравнение не имеет корней ответ б) нет корней
в)(3;+∞) |x+2|=x+2 |x-3|=x-3 Уравнение примет вид х+2+х-3=7 2х=8 х=4 4∈(3;+∞) и потому является корнем ответ в) х=4
Ответ. - 3; 4
2) а)(-∞;1] |x-1|=-x+1 |2x-6|=-2x+6 Неравенство принимает вид -х+1-2х+6<5 -3x<-2 x>2/3 Пересечением промежутков (-∞;1] и (2/3;+∞) является промежуток (2/3;1] ответ. а)(2/3;1]
б)(1;3] |x-1|=x-1 |2x-6|=-2x+6 Неравенство принимает вид х-1-2х+6<5 -х<0 x>0 Пересечением промежутков (1;3] и (0;+∞) является промежуток (1;3] ответ. б)(1;3]
в)(3;+∞) |x-1|=x-1 |2x-6|=2x-6 Неравенство принимает вид х-1+2х-6 < 5 3x < 12 x< 4 Пересечением промежутков(3;+∞) и (-∞;4) является интервал(3;4) ответ. в) (3;4)
Ответ. (2/3;1]U (1;3]U (3;4)=(2/3; 4)
3) а) На (-∞;2]U(2;+∞) |x²-1|=x²-1 |x²-4|=x²-4 Уравнение принимает вид х²-1+х²-4=х+10 2х²-х-15=0 D=1+120=121 x=-5/2 или х=3 Оба корня входят в промежуток ответ. а) -2,5; 3 б) на (-2;-1) U (1;2) |x²-1|=x²-1 |x²-4|=-x²+4 Уравнение принимает вид x²-1-x²+4=x+10 x=-7 -7∉(-2;-1] U (1;2) ответ. б) нет корней в) (-1;1] |x²-1|=-x²+1 |x²-4|=-x²+4 Уравнение принимает вид -х²+1-х²+4=х+10 2x²+x+5=0 D=1-40<0 Уравнение не имеет корней ответ в) нет корней
Answers & Comments
Verified answer
1) Решаем методом интервалов.Первое подмодульное выражение меняет знак в точке х=-2, второе - в точке х=3.
Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка.
Решаем уравнение на каждом промежутке
a)(-∞;-2]
|x+2|=-x-2
|x-3|=-x+3
Уравнение примет вид
-х-2-х+3=7,
-2х=6
х= - 3
- 3∈(-∞;-2] и поэтому является корнем уравнения
ответ а)х= -3
б)(-2;3]
|x+2|=x+2
|x-3|=-x+3
Уравнение примет вид
x+2-x+3=7
0х=2
уравнение не имеет корней
ответ б) нет корней
в)(3;+∞)
|x+2|=x+2
|x-3|=x-3
Уравнение примет вид
х+2+х-3=7
2х=8
х=4
4∈(3;+∞) и потому является корнем
ответ в) х=4
Ответ. - 3; 4
2) а)(-∞;1]
|x-1|=-x+1
|2x-6|=-2x+6
Неравенство принимает вид
-х+1-2х+6<5
-3x<-2
x>2/3
Пересечением промежутков (-∞;1] и (2/3;+∞) является промежуток
(2/3;1]
ответ. а)(2/3;1]
б)(1;3]
|x-1|=x-1
|2x-6|=-2x+6
Неравенство принимает вид
х-1-2х+6<5
-х<0
x>0
Пересечением промежутков (1;3] и (0;+∞) является промежуток
(1;3]
ответ. б)(1;3]
в)(3;+∞)
|x-1|=x-1
|2x-6|=2x-6
Неравенство принимает вид
х-1+2х-6 < 5
3x < 12
x< 4
Пересечением промежутков(3;+∞) и (-∞;4) является интервал(3;4)
ответ. в) (3;4)
Ответ. (2/3;1]U (1;3]U (3;4)=(2/3; 4)
3)
а) На (-∞;2]U(2;+∞)
|x²-1|=x²-1
|x²-4|=x²-4
Уравнение принимает вид
х²-1+х²-4=х+10
2х²-х-15=0
D=1+120=121
x=-5/2 или х=3
Оба корня входят в промежуток
ответ. а) -2,5; 3
б) на (-2;-1) U (1;2)
|x²-1|=x²-1
|x²-4|=-x²+4
Уравнение принимает вид
x²-1-x²+4=x+10
x=-7
-7∉(-2;-1] U (1;2)
ответ. б) нет корней
в) (-1;1]
|x²-1|=-x²+1
|x²-4|=-x²+4
Уравнение принимает вид
-х²+1-х²+4=х+10
2x²+x+5=0
D=1-40<0
Уравнение не имеет корней
ответ в) нет корней
Ответ. -2,5; 3