с кв...

July 2022 1 43 Report

Груз массой 40 кг касается вертикально стоящей пружины на асфальте с коэффициентом жесткости 50 Н/м, не деформируя её. Через какое время он достигнет максимальной скорости при предоставлении ему свободы? При деформации пружина вертикальна. g=10 м/с кв.

Answers & Comments

logophobia

Verified answer

Численное значение ускорения свободного падения не играет никакой роли. И на Луне и на Марсе время достижения максимальной скорости было бы одинаковым. Отличалась бы только сама эта максимальная скорость. Поскольку, как хорошо известно, частота пружинных колебаний в продольном однородном потенциальном поле происходят с той же частотой, что и в его отсутствии. Каждую четверть периода гармонических колебаний – модуль скорости меняет своё значение от нулевого до амплитудного и наоборот.

БЕЗ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ФАКТА НЕИЗМЕННОМТИ ПЕРИОДА КОЛЕБАНИЙ:

$t = \frac{T}{4} = \frac{1}{4} \cdot 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} } = \frac{\pi}{2} \sqrt{ \frac{m}{k} } \ ;$

$t = \frac{\pi}{2} \sqrt{ \frac{m}{k} } \approx \frac{\pi}{2} \sqrt{ \frac{40}{50} } \approx 1.4$ сек ;

ВТОРОЙ СПОСОБ с доказательством неизменности периода:

Будем для начала откладывать координату вниз от начального положения груза. На груз всё время будет действовать сила:

$F = mg - kx = - ( kx - mg ) = - k ( x - \frac{mg}{k} ) \ ;$

Теперь станем откладывать координату от точки $x_o = \frac{mg}{k}$ и получим смещённую координату:

$x_c = x - x_o \ ;$ и теперь уже можем записать уравнение для силы так:

$F = - k ( x - x_o ) = - k x_c \ ;$

$ma = - k x_c \ ;$

$mx'' = mx_c'' = - k x_c \ ;$

Последнее – это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой:

$\omega = \sqrt{ \frac{k}{m} } \ ,$ и периодом:

$T = \frac{ 2 \pi }{ \omega } = 2 \pi \sqrt{ \frac{k}{m} } \ ,$ нас интересует четверть-период, так что:

$t = \frac{T}{4} = \frac{\pi}{2} \sqrt{ \frac{m}{k} } \approx \frac{\pi}{2} \sqrt{ \frac{40}{50} } \approx 1.4$ сек ;

ТРЕТИЙ СПОСОБ с доказательством неизменности периода:

На груз всё время будет действовать сила:

$F = mg - kx = - ( kx - mg ) = - k ( x - \frac{mg}{k} ) \ ;$

$ma = - k ( x - \frac{mg}{k} ) \ ;$

$mx'' = - k ( x - \frac{mg}{k} ) \ ;$

$m( x - \frac{mg}{k} )'' = - k ( x - \frac{mg}{k} ) \ ;$

Это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой:

$\omega = \sqrt{ \frac{k}{m} } \ ,$ и периодом:

$T = \frac{ 2 \pi }{ \omega } = 2 \pi \sqrt{ \frac{k}{m} } \ ,$ нас интересует четверть-период, так что:

$t = \frac{T}{4} = \frac{\pi}{2} \sqrt{ \frac{m}{k} } \approx \frac{\pi}{2} \sqrt{ \frac{40}{50} } \approx 1.4$ сек ;

ЧЕТВЁРТЫЙ СПОСОБ с доказательством неизменности периода:

Будем откладывать координату вниз от начального положения груза. По закону сохранения энергии:

$- mgx + \frac{kx^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = const \ ;$

Возьмём производную от обеих частей уравнения:

$- mgx' + kxx' + mvv' = 0 \ ;$

$mgv - kxv = mvx'' \ ;$

$mg - kx = mx'' \ ;$

$- k ( x - \frac{mg}{k} ) = mx'' \ ;$

$( x - \frac{mg}{k} )'' = - \frac{k}{m} ( x - \frac{mg}{k} ) \ ;$

Это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой:

$\omega = \sqrt{ \frac{k}{m} } \ ,$ и периодом:

$T = \frac{ 2 \pi }{ \omega } = 2 \pi \sqrt{ \frac{k}{m} } \ ,$ нас интересует четверть-период, так что:

$t = \frac{T}{4} = \frac{\pi}{2} \sqrt{ \frac{m}{k} } \approx \frac{\pi}{2} \sqrt{ \frac{40}{50} } \approx 1.4$ сек .

3 votes Thanks 3

ЮрВас А что значат 5 желтых звездочек?

logophobia других у них для вас нет...

ЮрВас Я так и ничего не понял.

logophobia А что такое? Груз совершает гармонические колебания. Скорость ноль – через T/4 – скорость максимальна – ещё через T/4 – скорость опять ноль – потом ещё через T/4 – скорость снова максимальна и груз уже летит вверх – а после через T/4 груз в начальном положении.

logophobia Звёздочки дают возможность оценивать решение численно. В том числе и автору решения. Я свои решения ценю высоко :–)

ЮрВас Не понял про звездочки. С решением вроде хорошо. Спасибо! Есть разница нажать на первую или пятую?

logophobia Ну да. Конечно. Если нажать на первую – это будет соответствовать оценке решения "1", а если нажать на последнюю – то оценке "5"

ЮрВас А что я Вам там нащёлкал? Правильно или нет?

ЮрВас За такую простую задачу... 70 баллов? Что=то я расщедрился. Но... получил на 100. Спасибо!

Answers & Comments

Verified answer

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social