Verified answer

1) Эту задачу можно решить двумя способами: а) точным тригонометрическим  б) приближенным (допустим при малых углах)

а) смотрите рисунок.  Из рисунка видно, что tgα = R/S.  Отсюда искомое расстояние  S = R/tgα. Угол α = 33'/2 = 16,5'. tg16,5' = 0,00479969…  Тогда искомое расстояние   S = 3400/2*0,00479969 = 354189,4 км

б) при малых угловых размерах объекта: линейный размер (2R) объекта, видимого с расстояния S под углом 2α'' (угол в секундах), определяется выражением 2R = 2α'' * S/206265''.   Из этого выражения S = 2R*206265''/2α'', здесь 2R – линейный диаметр Луны = 3400 км;  2α'' – угловой диаметр Луны = 33*60 = 1980'';  206265'' -  количество угловых секунд в одном радиане.

Таким образом, S = 3400*206265/1980 = 354192,4 км.

Так что, как видите разница в результатах совсем небольшая. Меньше 0,001%. Следовательно, когда нет возможности найти тангенс малого угла, то можно использовать второй принцип решения задачи.

2)Что бы ответить на этот вопрос надо найти синодический период обращения астероида. Время между противостояниями равно синодическому периоду обращения. Но для нахождения этого периода необходимо знать сидерический период обращения. Таким образом, вначале надо найти сидерический период обращения астероида. По третьему закону Кеплера: Отношение квадратов сидерических периодов обращения объектов равно отношению кубов больших полуосей этих объектов. Т.е. для Земли и астероида выполняется соотношение ( Тз/Та)² = (Аз/Аа)³;  здесь Тз – сидерический период обращения Земли = 1 год;  Та – сидерический период обращения астероида (надо найти) в годах;  Аз - большая полуось земной орбиты = 1 астрономическая единица (а.е.) Аа – большая полуось орбиты астероида = 4,2 а.е.  Из третьего закона Кеплера Та²= Тз²(Аа/Тз)³.  Отсюда Та = √Тз²(Аа/Тз)³ =  √1²(4,2/1)³ = √4,2³ = 8,6 лет. Поскольку большая полуось орбиты астероида больше чем у Земли, то относительно Земли астероид является внешней планетой. В этом случае синодический период обращения астероида связан с сидерическими периодами обращения Земли и самого астероида соотношением 1/Тсин = (1/Тз) – (1/Та); здесь Тсин – синодический период обращения астероид. Из этого соотношения Тсин =Тз*Та/(Та-Тз) = 1*8,6/(8,6 – 1) = 1,13 года  

3)Первая космическая скорость это такая минимальная линейная  скорость, при которой тело, летящее у поверхности Луны, будет двигаться по круговой орбите вокруг Луны, не падая на неё. При таком движении по окружности вокруг Луны на тело будет действовать сила притяжения Луны. Эта сила будет являться центростремительной силой для тела. Собственно именно эта сила и заставляет двигаться тело по окружности. Эта сила определяет ускорение свободного падения (gл) на поверхности Луны. Это с одной стороны. С другой стороны, как известно, если тело движется по окружности,  то на него действует центростремительное ускорение, которое определяется выражением: ац = V²/R. Таким образом, при движении тела вокруг Луны с первой космической скоростью, центростремительным ускорением является ускорение свободного падения. Следовательно, можно записать соотношение  gл = V²/R;  здесь V – первая космическая скорость. Отсюда V = √gл* R = √1,6*1740000м = 1668,5 м/с