С4. Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 10 и 26 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 12, средняя линия трапеции равна 24. Прямые KL и MN пересекаются в точке А. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АLM.
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
Это практически устная задача. Надо знать несколько простых вещей.
1. Отрезок ,соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.
Ясно, что этот отрезок - часть средней линии, заключенная между диагоналями. Куски средней линии между боковой стороной и диагональю (все равно с какой стороны) равны половине малого основания - как средние линии (в обозначениях задачи это средние линии треугольников KLM и NLM). Если обозначить основания как a и b, то
12 = (a + b)/2 - 2*(b/2) = (a - b)/2;
Кроме того, задано, что (a + b)/2 = 24;
Отсюда легко находим a = 36, b = 12;
Рассмотрим теперь подобные треугольники KAN и LAM. LN/KN = 12/36 = 1/3;
Поэтому AL/AK = AM/AN = 1/3; Но AK - AL = 10; AN - AM = 26, отсюда сразу находим AL = 5, АМ = 13.
Вот тут нам Пифагор здорово облегчает жизнь - получился треугольник со сторонами (5,12,13), то есть прямоугольный. По известной формуле радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен
r = (5 + 12 - 13)/2 = 2. Это ответ.
Кстати, эта формула получается очень просто, поскольку отрезки касательных к вписанной окружности, из которых складываются стороны, включают и сам радиус r.
И, между прочим, в задаче с самого начала задана прямоугольная трапеция.
Verified answer
cредняя линия=24
BC=12
LM+KN/2=24
KN-LM/2=12
LM=12
KN=36
KAN -LAM
AK/AL=AN/AM=KN/LM=3 =>
AK/AL=AL+LK/AL=AL+10/AL=3 => AL=5
AN/AM=AM+MN/AM=AM+26/AM=3 => AM=13
S alm=30 по герону
r=Salm/0.5Palm=2