Дано:

φ = Αt²

A = 0,5 рад/с²

t = 2 c

υ = 2 м/с

а - ?

Решение:

Нам требуется найти полное ускорение точки, которое является геометрической суммой её нормального ускорения и тангенциального ускорения:

а = √(а_n² + а_τ²)

Для того, чтобы найти а_n и а_τ, предполагается, что известно расстояние R от точки до центра диска, т.к.:

а_n = υ²/R

a_τ = ε*R

Но мы можем воспользоваться формулой линейной скорости υ точки:

υ = ω*R => R = υ/ω

ω - это угловая скорость вращения точки, и она нам тоже известна, т.к.:

ω = Δφ/Δt

Δφ = φ2 - φ1

Δt = t2 - t1

Теперь кое-какие пояснения по поводу того, почему величины Δφ и Δt известны:

По условиям диск в начальный момент покоится. Затем он начинает вращаться, и вращение его точек происходит с ускорением. Причём ускорение это угловое - ε.

На самом деле зависимость, которая дана в условиях, аналогична зависимости из прямолинейного равноускоренного движения:

φ = Аt²

s = at²/2

Всё то же самое, только вместо линейного перемещения у нас угловое, и вместо линейного ускорения - тоже угловое. Надо только преобразовать зависимость φ от t, чтобы аналогия была более очевидной:

φ = Аt² = εt²/2

Значит, угловое ускорение равно:

Аt² = εt²/2 | : t²

A = ε/2

ε = 2Α

Т.к. в начальный момент диск покоится, то угол его поворота равен нулю (это по аналогии с линейным перемещением - в начальный момент движения перемещение равно нулю):

φ1 = 0

Следовательно, изменение угла равно углу поворота через время Δt = t2 - t1, где t1 = 0 (т.к. начало движения диска происходит в начальный момент времени):

Δφ = φ2 - φ1 = φ2 - 0 = φ2, и значит угловая скорость в момент времени t2 равна:

ω = φ2/t2, где t2 = t по условиям задачи, а φ2 = φ = Аt² по условиям задачи, т.е.:

ω = φ/t = At²/t = At

Теперь возвращаемся к выражению для R:

R = υ/ω = υ/(Αt)

Всё необходимое у нас есть, теперь мы можем подставить в формулы для нормального и тангенциального ускорений выражение расстояния R и решить задачу:

а_n = υ²/R = υ²/(υ/Αt) = υAt

a_τ = ε*R = 2A*(υ/Αt) = 2υ/t

а = √(а_n² + а_τ²) = √(υ²Α²t² + 2²υ²/t²) = √(υ²(Α²t² + 2²/t²)) = υ*√(Α²t² + 2²/t²) = 2*√(0,5²*2² + 2²/2²) = 2*√(0,25*4 + 1) = 2*√2 = 2*1,41 = 2,82 м/с²

Ответ: примерно 2,82 м/с².