Формулы для выражения синуса и косинуса через тангенс половинного угла:

[tex]\sin x=\dfrac{2\,\mathrm{tg}\frac{x}{2} }{1+\mathrm{tg}^2\frac{x}{2}}[/tex]

[tex]\cos x=\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\frac{x}{2} }{1+\mathrm{tg}^2\frac{x}{2}}[/tex]

Получим:

[tex]\sin2\alpha +\cos2\alpha =\dfrac{2\,\mathrm{tg}\,\alpha }{1+\mathrm{tg}^2\alpha } +\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\alpha }{1+\mathrm{tg}^2\alpha } =\dfrac{2\,\mathrm{tg}\,\alpha+1-\mathrm{tg}^2\alpha }{1+\mathrm{tg}^2\alpha }[/tex]

При [tex]\mathrm{tg}\,\alpha =3[/tex]:

[tex]\sin2\alpha +\cos2\alpha =\dfrac{2\cdot3+1-3^2}{1+3^2}=\dfrac{6+1-9}{1+9}=-\dfrac{2}{10} =-0.2[/tex]

Ответ: -0.2