Для решения уравнения вида [tex]y''=f(x)[/tex] необходимо дважды проинтегрировать правую часть.

Основные формулы интегрирования:

[tex]\int\sin x\,dx=-\cos x+C[/tex]

[tex]\int\cos x\,dx=\sin x+C[/tex]

Рассмотрим уравнение:

[tex]y''=\sin(2x-3)[/tex]

Сначала находим первую производную:

[tex]y' =\int \sin(2x-3)dx[/tex]

Используем подведение под знак дифференциала:

[tex]y' =\int \sin(2x-3)d\left(\dfrac{1}{2}\cdot2x\right)[/tex]

[tex]y' =\dfrac{1}{2}\int \sin(2x-3)d(2x)[/tex]

[tex]y' =\dfrac{1}{2}\int \sin(2x-3)d(2x-3)[/tex]

[tex]y' =\dfrac{1}{2}\cdot\big(-\cos(2x-3)\big)+C_1[/tex]

[tex]y' =-\dfrac{1}{2}\cos(2x-3)+C_1[/tex]

Теперь находим саму функцию:

[tex]y =\int\left(-\dfrac{1}{2}\cos(2x-3)+C_1\right)dx[/tex]

[tex]y =-\dfrac{1}{2}\int\cos(2x-3)dx+\int C_1dx[/tex]

[tex]y =-\dfrac{1}{2}\int\cos(2x-3)d\left(\dfrac{1}{2} \cdot2x\right)+C_1x[/tex]

[tex]y =-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\int\cos(2x-3)d\left(2x\right)+C_1x[/tex]

[tex]y =-\dfrac{1}{4}\int\cos(2x-3)d\left(2x-3\right)+C_1x[/tex]

[tex]\boxed{y =-\dfrac{1}{4}\sin(2x-3)+C_1x+C_2}[/tex]