Ответ:   [tex]\bf x=-\dfrac{\pi }{2}[/tex]   .

Чему равен наибольший отрицательный корень уравнения

[tex]\bf sin^2x+0,5\, sin2x=1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ sin^2x+2\, sinx\cdot cosx=sin^2x+cos^2x\\\\2\, sinx\cdot cosx-cos^2x=0\ \ \ ,\ \ \ cosx\cdot (2\, sinx-cosx)=0[/tex]  

[tex]\bf a)\ \ cosx=0\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi }{2}+\pi n\ \ ,\ \ n\in Z\\\\b)\ \ 2\, sinx-cosx=0\ \Big|:cosx\ne 0\\\\2\, tgx-1=0\ \ ,\ \ tgx=\dfrac{1}{2}\ \ ,\ \ x=arctg\dfrac{1}{2}+\pi k\ \ ,\ \ k\in Z[/tex]  

с)  Наибольший отрицательный корень первой серии решений

равен   [tex]\bf x=-\dfrac{\pi }{2}[/tex]  .    

Наибольший отрицательный корень второй серии решений

равен   [tex]\bf x=-\pi +arctg\dfrac{1}{2}[/tex]  .

Выбираем из них наибольший корень. Это     [tex]\bf x=-\dfrac{\pi }{2}[/tex]  .