oganesbagoyan

Verified answer

7. Найти сумму  целочисленных решений неравенства
( 2*4^(x+1)+2*2^(x+1)  -8^x -16 ) / (1-cos² πx /3)  ≥ 0 ;
---
(8*(2^x)² +2*(2^x) -(2^x)³  -16)  /  (1-cos² πx /3)  ≥ 0 ;
( (2^x)³  -8*(2^x)²  - 2*(2^x) +16) / sin² πx /3  ≤ 0  ;      
* * *sin² πx /3  ≥ 0 .  ОДЗ :  sin πx /3 ≠ 0 ⇒  x  ≠ 3n , n ∈ Z .
Замена:   t =2^x ;
t³  -8t² -2t +16  ≤  0 ;
t² (t-8) -2(t -8)  ≤  0 ;
(t -8) (t²  - 2)  ≤  0 
 (t  - √2)(t -8) (t  + √2)  ≤  0   * * *  t  + √2 = 2^x + √2 >0 * * *
√2  ≤  t ≤  8 ;
(2)^ (1/2)  ≤ 2^x   ≤ 2³ ⇔ 1/2 ≤ x  ≤ 3  , но  x  = 3*1  не решение ,  поэтому
 1/2 ≤ x  <  3   сумма целочисленных решений неравенства будет :
1+2  =3.

ответ : 3.
---------------
8. Найти количество  целочисленных решений неравенства
(x² -2x -15) /Log_7  (x+1) ≤ 0 удовлетворяющих условию
3x -5 -|x-1| ≥0 .
---
Начнем 3x -5 -| x-1 |  ≥0  ⇔ совокупности двух систем неравенств :
 [ { x-1 < 0 ;   3x -5 +x -1 ≥0  ;   { x-1 ≥ 0 ;   3x -5 -(x -1) ≥0 . ⇔
 [ { x < 1  ; x ≥ 1,5  ;  { x ≥ 1 ;  x  ≥ 2 .⇒ . [  x ∈∅  ; x ≥ 2 ⇒ x  ≥ 2. * * *  x+1 ≥ 3 * * *

{ x  ≥ 2 ; (x² -2x -15) / Log_7  (x+1) ≤ 0 ; ⇔{ x  ≥ 2 ; x² -2x -15 ≤ 0  ;
* * * т.к.  Log_7  (x+1)   ≥  Log_7  3  > 0  * * *
{ x  ≥ 2 ; (x+3) (x-5)  ≤ 0⇔ { x  ≥ 2 ;  -3  ≤  x  ≤  5 ⇔ 2  ≤  x  ≤  5 .
целочисленных решений неравенства  x ∈ { 2 ; 3 ; 4 ; 5 } .

ответ : 4.