Verified answer

Число a — корень уравнения x^11+x^7+x^3=1.

При каких натуральных n выполняется равенство a^3+a^4=a^n+1

=======

a корень, значит

a^11 + a^7 + a^3 = 1

домножим на a^4 - 1

(a^11 + a^7 + a^3)(a^4 - 1) = a^4 - 1

a^15 - a^11 + a^11 - a^7 + a^7 - a^3 = a^4 - 1

a^15 - a^3 = a^4 - 1

a^3 + a^4 = a^15 + 1

a^3+a^4=a^n+1

a^15 = a^n

n = 15

====

проверим только что

0^11 + 0^7 + 0^3 ≠ 1

1^11 + 1^7 + 1^3 ≠ 1

(-1)^11 + (-1)^7 + (-1)^3 ≠ 1

a ≠ {0,1,-1} тем самым отсекаем неопредленности при определении n  в a^n = a^15