1) Разложим сумму кубов. Произведение равно нулю когда один или все множители равны нулю. Возведём в квадрат обе части: n ∈ Z. (это для второй четверти: sinx = -cosx).
Проверяем на нуль второй множитель. sin²x-sinx*cosx+cos²x=0, 1-sinx*cosx = 0, sinx*cosx = 1, sinx√(1-sin²x) = 1. Возведём в квадрат: sin²x(1-sin²x) = 1, -sin⁴x + sin²x - 1 = 0, sin⁴x - sin²x + 1 = 0, Заменим sin²x = у, получим квадратное уравнение: у² - у + 1 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно y: Ищем дискриминант: D=(-1)^2-4*1*1=1-4=-3; Дискриминант меньше 0, уравнение не имеет корней.
Answers & Comments
Verified answer
1)Разложим сумму кубов.
Произведение равно нулю когда один или все множители равны нулю.
Возведём в квадрат обе части:
(это для второй четверти: sinx = -cosx).
Проверяем на нуль второй множитель.
sin²x-sinx*cosx+cos²x=0,
1-sinx*cosx = 0,
sinx*cosx = 1,
sinx√(1-sin²x) = 1.
Возведём в квадрат:
sin²x(1-sin²x) = 1,
-sin⁴x + sin²x - 1 = 0,
sin⁴x - sin²x + 1 = 0, Заменим sin²x = у, получим квадратное уравнение:
у² - у + 1 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно y: Ищем дискриминант:
D=(-1)^2-4*1*1=1-4=-3; Дискриминант меньше 0, уравнение не имеет корней.
Поэтому остаётся ранее найденное решение.