5)

это арифметическая прогрессия (Ежедневно расцветает на одно и то же количество цветов больше по сравнению с предыдущим днем)

a(1) = 42

S(10) = 900

n = 10

надо найти 10-й член

S(n) = (2a(1) + d(n - 1))/2 * n

S(10) = (2*42 + 9d)/2 * 10 = 900

84 + 9d = 180

9d =  96 (можно дальше не делить, нам надо 9d)

d = 32/3  

a(n) = a(1) + d(n - 1)

a(10) = 42 + 9d = 42 + 96 = 138

=========

4)

b(n) = b(1)*q^(n - 1)

b(n) = b(n-1)*q

b(6) - b(4) = 56

b(3) - b(5) = 14

---

b(1)q^5 - b(1)q^3 = b(1)q^3(q^2 - 1) = 56

b(1)q^2 - b(1)q^4 = b(1)q^2(1 - q^2) = 14

делим первое на второе

b(1)q^3(q^2 - 1) / b(1)q^2(1 - q^2)  = 56 / 14

-q = 4

q = -4

b(1)q^2 - b(1)q^4 = b(1)q^2(1 - q^2) = 14

b(1)(-4)^2(1 - (-4)^2) = 14

b(1) *16*(-15) = 14

b(1) = - 14/(15*16) = -7/(8*15) = - 7/120

q = -4  b(1) = -7/120

==========

3)

a(n) = a(1) + d(n - 1)

a(n) = a(n - 1) + d

a(3) - a(1) = 8

a(2) + a(4) = 14

S(n) = 111

n - ?

a(1) + 2d - a(1) = 8

a(1) + d + a(1) + 3d = 14

2d = 8

2a(1) + 4d = 14

d = 4

a(1) = -1

S(n) = (2a(1) + d(n - 1))/2 *n

222 = (-2 + 4(n - 1))*n

222 = (-2 + 4n - 4))*n

111 = (2n - 3)n

2n^2 - 3n - 111 = 0

D = 9 + 4*2*111 = 897

√897 - решений нетпри таких условиях

a(n) = -1, 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31

S(8) = 104

S(9) = 135