Verified answer

Ответ:  S=54 см², h=7.2 см.

Объяснение: Задачу можно решить разными способами.

Способ 1 ( и самый простой),

  Обозначим треугольник АВС. Отношение его сторон 9:12:15= 3:4:5 - это отношение сторон так называемого «египетского» треугольника. Он прямоугольный. ⇒

Ѕ(АВС)=АВ•ВС:2=9•12:2=54 см²

Наименьшая высота ВН - высота к наибольшей стороне.

ВН=2Ѕ:АС=108:15=7,2 см

Способ 2.  Площадь определяется по формуле Герона:

S=√[p•(p-a)(p-b)(p-c)]

p=(a+b+c):2=(9+12+15):2=18

S=√(18•9•6•3)=54 (см²)

Способ 3 ( для этой конкретной задачи он без особой необходимости, но знать его полезно, нередко применим в других задачах).

Примем отрезок АН=х. ⇒ СН=15-х.

В прямоугольных треугольниках АВН и СВН ВН - общий катет.

Из ∆ АВН по т.Пифагора ВН²=81-х²

Из ∆ СВН по т.Пифагора ВН²=144-225+30х-х² .

Приравняв уравнения квадрата высоты, произведя нужные вычисления, получим х=5,4

⇒ ВН=√(9²-5,4²)=7,2 см .

Ѕ=ВН•АС:2=7,2•15:2=54 см²