Ответ:

а=8

Пошаговое объяснение:

f(x)=x³/3 - (a-1)x²/2 + (5a-30)x - 9

f'(x) = 3x²/3 - (a-1)*2x/2 + (5a-30) + 0=

= x² - (a-1)*x + (5a-30)

f'(x)=0 при:

D=(-(a-1))² - 4*1*(5a-30)=

=a²-2a+1 -20a +120 = a² - 22a + 121 = (a-11)²

√D=|a-11|

x1=(a-1 + √D) / (2*1)

x2=(a-1 - √D) / (2*1)

тогда f'(x)=(x-x1)*(x-x2)

Рассмотрим 3 случая:

1) а-11>0 (или а>11), |а-11|=а-11=√D

Тогда:

х1=(a-1+a-11)/2= (2a-12)/2=a-6

x2=(a-1-a+11)/2 = 10/2=5

так как а>11, то а-6>11-6=5

f'(x)=(x-5)*(x-(a-6))

f'(x). +. -. +

-----------o---------o-----------›

5. a-6. x

f(x). ↑. ↓. ↑

Функция f(x) возрастает на промежутке (-∞;5) U (a-6;+∞), a убывает на промежутке (5;а-6).

Следовательно, точка максимум — х=5 (при любом значении а>11) ≠ 2 — не подходит по условию задачи

2) а-11=0 (или а=11), |а-11|=0=√D

Тогда:

х1=х2=(a-1+0)/2= (а-1)/2

f'(x)=(x-(а-1)/2)²

f'(x). +. +

-----------o-----------›

(а-1)/2 x

f(x). ↑. ↑

Функция f(x) возрастает на промежутке (-∞;+∞).

Следовательно, точка максимума отсутствует при а=11.

3) а-11<0 (или а<11), |а-11|=-а+11=√D

Тогда:

х1=(a-1-a+11)/2= (10)/2=5

x2=(a-1+а-11)/2 = (2а-12)/2=а-6

так как а<11, то а-6<11-6=5

f'(x)=(x-5)*(x-(a-6))

f'(x). +. -. +

-----------o---------o-----------›

а-6 5. x

f(x). ↑. ↓. ↑

Функция f(x) возрастает на промежутке (-∞;

а-6) U (5;+∞), a убывает на промежутке (а-6;5).

Следовательно, точка максимум — х=а-6 .

По условию, точка максимума х=2,

следовательно х=2=а-6

а=2+6=8 < 11 — подходит.