( Сумма трех чисел, которые образуют растущую арифметическую прогрессию, равна 45. Если от первого числа вычесть 5, второе оставить без изменений, а к третьему добавить 25, то получим геометрическую прогрессию. Найдите эти числа. )
Сума трьох чисел, які утворюють зростаючу арифметичну прогресію, дорівнює 45. Якщо від першого числа відняти 5, друге залишити без змін, а до третього додати 25, то отримаємо геометричну прогресію. Знайдіть ці числа.
Сума трьох чисел, які утворюють зростаючу арифметичну прогресію, дорівнює 45. Якщо від першого числа відняти 5, друге залишити без змін, а до третього додати 25, то отримаємо геометричну прогресію. Знайдіть ці числа.
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
А₁ + а₂ + а₃ = 45а₁ + а₁+d + а₁ + 2d = 45
3а₁ + 3d = 45
3(а₁+d) = 45
а₁ + d =15 ⇒ a₂ = 15
Если а₂ = 15, тогда:
а₁ = 15-d
а₃ = 15+d
Вычтем от первого числа 5:
15 - d - 5 = 10-d
Прибавим к третьему числу 25:
15 + d + 25 = 40+d
По свойству геометрической прогрессии:
(40+d)/15 = 15/(10-d)
(40+d)(10-d) = 15²
400 - 40d + 10d - d² = 225
-d² - 30d + 175 = 0
d² + 30d - 175 = 0
D = 900 + 700 = 1600 = 40²
d₁ = (-30-40)/2 = -35 не подходит по условию (прогрессия возрастающая)
d₂ = (-30+40)/2 = 5
разность прогрессии равна 5, тогда:
а₁ = 15 - 5 = 10
а₃ = 15 + 5 = 20
Ответ: 10, 15, 20
х - первое число
(х+d) - второе число
(х+2d) - третье число
По условию их сумма равна 45, получаем уравнение:
х + (х+d) + (х+2d) = 45
3х + 3d = 45
х + d = 15
ОДЗ: d>0
Так как x+d - это второе число, получается, что второе число равно 15.
2)
(х-5) - первое число геометрической прогрессии
(х+d) = 15 - второе число
х+2d+25 = (х+d)+d+25 = 15+d+25= (40+d) - третье число геометрической прогрессии
Воспользуемся свойством геометрической прогрессии и получим второе уравнение:
15² = (x-5)·(d+40)
225 = (x-5)·(d+40)
3)
Из первого уравнения (x+d) = 15 выразим d = 15-x.
4) Во второе уравнение вместо d подставим (15-x)
225 = (x-5)·(15-x+40)
225 = (х-5)·(55-х)
225 = (х-5)(55-х)
225 = 55х-275-х²+5х
х² - 60х + 500= 0
ОДЗ: d>0
D = b²-4ac
D=3600-4·1·500= 3600-2000=1600
√D = √1600 = 40
x₁ = (60+40)/2 = 100/2= 50
x₂ = (60-40)/2 = 20/2 = 10
С помощью уравнения d = 15 - х находим d.
При х₁ = 50 получаем d₁ = 15 - 50 = - 35 не подходит, т.к прогрессия возрастающая
При х₂ = 10 получаем d₁ = 15 - 10 = 5
Итак, при х = 10 и d = 5 получаем искомые числа:
10; 15; 20, образующих арифметическую прогрессию.
Проверим:
10-5 = 5 - первое число геометрической прогрессии
15 - второе
20+25 = 45 - третье
15 : 5 = 45 : 15
3 = 3 верное равенство
Ответ: 10; 15; 20