Ответ: Да . Например :

a= (√5-1)/2

a= (-√5-1)/2

Пошаговое объяснение:

Предположим ,  что числа

а^2+a  и  a^3-2a  являются рациональными ,  но тогда отношение этих чисел так же является рациональным числом .

Преобразуем это отношение :

(a^3-2a)/(a^2+a)  =  ( a*(a^2-2) )/( a*(a+1) ) =

= (a^2-2)/(a+1) = (a^2-1)/(a+1)   -1/(a+1)=

=(a-1)*(a+1)/(a+1)    -1/(a+1)  =  a-1 -  1/(a+1)  =  (a+1)  -1/(a+1) -2

(a+1)  - 1/(a+1) -2 - рациональное число .

Поскольку 2 - рациональное число ,  то  

(a+1) - 1/(a+1) - рациональное число .

Пусть :  (a+1) - 1/(a+1) = R - рациональное число.

Решим  уравнение относительно иррационального  числа  a+1 =t :

t-1/t =R

t^2-R*t-1=0

D = R^2 +4 >0 при  любом  рациональном числе R

t12 = (R +-√(R^2+4) ) /2

Поскольку  по  условию t= a+1 - иррационально ,  тк  a- иррационально.

То R^2+4 - не является квадратом рационального числа.

По  условию :   число  а^2+a - рационально

a^2+a =a*(a+1) = (t-1)*t =t^2-t

t^2 = ( (R +-√(R^2+4) ) /2 )^2 = (R^2 +-2*R*√(R^2+4) +R^2+4)/4 =

= (2*R^2 +4 +-2*R*√(R^2+4) )/4 = (R^2 +-R*√(R^2+4) +2)/2

t^2-t = (R^2 +-R*√(R^2+4) +2)/2  - (R +-√(R^2+4) ) /2 =  

=(R^2-R+2 +-(R-1)*√(R^2+4)  )/2

Число : R^2-R+2  - рационально в силу рациональности R . Точно так же как и число  R-1 .  

Но  тогда ,  выходит    что (R-1)*√(R^2+4)  - рациональное число

Это может быть только в двух случаях.

1)  R^2+4  является  квадратом рационального числа , но  как  было написано выше это невозможно.

2) Тогда остается единственный вариант , а именно,  занулить  это выражение ,  то есть когда  R=1.

В этом случае :  (R^2-R+2 +-(R-1)*√(R^2+4)  )/2 =  (R^2-R+2)/2 =  1 - рациональное число.

Поскольку отношение чисел :

(a^3-2a)/(a^2+a) = R-2 =-1 - рационально и

a^2+a = 1

То  a^3 -2a = -1 - рационально.

Подставим  R=1  в значение  для

t=a+1

t12 = (R +-√(R^2+4) ) /2 = (1+-√5)/2

a = (1+-√5)/2 -1  = (-1+-√5)/2 - иррациональное число.

Таким образом ,  такие  a существуют и их ровно два :

a1= (√5-1)/2

a2= (-√5-1)/2