tex] 0 при усіх дійсних значеннях х і у...

August 2022 2 6 Report

Доведіть, що [tex]x^{2}[/tex] + 5[tex]y^{2}[/tex] + 4ху – 4у + 4 [tex]\geq[/tex] 0 при усіх дійсних значеннях х і у.

Доказательство:

х^2 + 5у^2 + 4ху - 4у + 4 ≥ 0

(х^2 + 4у^2 + 4ху) + (у^2 - 4у + 4) ≥ 0

(х^2 + (2у)^2 + 2•х•2у) + (у^2 - 2•2•у + 2^2) ≥ 0

(х + 2у)^2 + (у - 2)^2 ≥ 0

Так как (х + 2у)^2 ≥ 0 и (у - 2)^2 ≥ 0 при всех

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ значениях х и у, то и их сумма (х + 2у)^2 + (у - 2)^2 ≥ 0 при всех

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ значениях х и у, что и требовалось доказать.