Відповідь:

Покрокове пояснення:

Cоставляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r^2 +4 r + 5 = 0

D=4^2 - 4·1·5=-4  

Корни характеристического уравнения:(комплексные корни):

r1 = -2 + i

r2 = -2 - i

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

y- = C1*e^(-2x)*cos x + C2*e^(-2x)*sin x.

Здесь P(x) = 5•x^2-32•x+5, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 0i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида:

y· = Ax^2 + Bx + C

Вычисляем производные:

y' = 2·A·x+B

y'' = 2·A

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

y'' + 4y' + 5y = (2·A) + 4(2·A·x+B) + 5(Ax^2 + Bx + C) = 5·x^2-32·x+5

или

5·A·x^2+8·A·x+2·A+5·B·x+4·B+5·C = 5·x^2-32·x+5

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

x^2: 5A = 5

x: 8A + 5B = -32

1: 2A + 4B + 5C = 5

Решая ее, находим:

A = 1;B = -8;C = 7;

Частное решение имеет вид:

y· = x^2 -8x + 7

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y = y- +y. = C1*e^(-2x)*cos x + C2*e^(-2x)*sin x +x^2 -8x + 7