Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

[tex]4\sqrt{x}+\sqrt{4-x^2}=x+4\\4-4\sqrt{x}+x=\sqrt{4-x^2}\\\left(2-\sqrt{x}\right)^2=\sqrt{4-x^2}\\\left(2-\sqrt{x}\right)^4=4-x^2[/tex]

Замена: [tex]t=2-\sqrt{x},\;\Rightarrow\;x=\left(2-t\right)^2[/tex] при условии, что [tex]t\le2[/tex].

[tex]t^4=4-(2-t)^4\\2t^4-8t^3+24t^2-32t+12=0\\t^4-4t^3+12t^2-16t+6=0\\\left(t^4-4t^3+4t^2\right)+8(t^2-2t)+6=0\\\left(t^2-2t\right)^2+8(t^2-2t)+6=0[/tex]

Замена: [tex]z=t^2-2t[/tex].

[tex]z^2+8z+6=0[/tex]

Корни этого уравнения очевидны:

[tex]\left[\begin{array}{c}z=-4-\sqrt{10}\\z=-4+\sqrt{10}\end{array}\right;[/tex]

Обратная замена:

[tex]\left[\begin{array}{c}t^2-2t+4+\sqrt{10}=0\\t^2-2t+4-\sqrt{10}=0\end{array}\right;[/tex]

Уравнения имеют структуру [tex]t^2-2t+q=0[/tex].

Тогда [tex]\sqrt{D/4}=\sqrt{1-q},\;\Rightarrow\;t=1\pm\sqrt{1-q}[/tex].

[tex]\left[\begin{array}{c}t=1-\sqrt{\sqrt{10}-3}\\t=1+\sqrt{\sqrt{10}-3}\end{array}\right;[/tex]

(первое уравнение корней не имеет, так как [tex]4+\sqrt{10} > 1[/tex] очевидно)

Обратная замена (легко видно, что все [tex]t\le2[/tex]):

[tex]\left[\begin{array}{c}2-\sqrt{x}=1-\sqrt{\sqrt{10}-3}\\2-\sqrt{x}=1+\sqrt{\sqrt{10}-3}\end{array}\right;[/tex]

Решение совокупности очевидно:

[tex]\left[\begin{array}{c}\sqrt{x}=1+\sqrt{\sqrt{10}-3}\\\sqrt{x}=1-\sqrt{\sqrt{10}-3}\end{array}\right,\;\Rightarrow\;\left[\begin{array}{c}x=\left(1+\sqrt{\sqrt{10}-3}\right)^2\approx1.968\\x=\left(1-\sqrt{\sqrt{10}-3\right)^2\approx0.357\end{array}\right;[/tex]

Уравнение решено!