Verified answer

[tex]\sin^{-1}2x\sqrt{\mathrm{tg}\,^2x+\mathrm{ctg}\,^2x+2} +\mathrm{ctg}\,2x\sqrt{\mathrm{tg}\,^2x+\mathrm{ctg}\,^2x-2}=4\cos^22x[/tex]

Отметим ОДЗ. Для существования тангенса необходимо потребовать условие [tex]\cos x\neq 0[/tex]. Для существования котангенса - условие [tex]\sin x\neq 0[/tex]. Для существования выражений [tex]\sin^{-1}2x[/tex] и [tex]\mathrm{ctg}\,2x[/tex] необходимо потребовать условие [tex]\sin 2x\neq 0[/tex], которое сводится к двум предыдущим. Выражение под первым корнем, очевидно, неотрицательно, неотрицательность второго выражения попробуем показать далее.

Преобразуем выражения под знаками корня:

[tex]\mathrm{tg}\,^2x+\mathrm{ctg}\,^2x+2=\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}+ \dfrac{\cos^2x}{\sin^2x}+ 2=[/tex]

[tex]=\dfrac{\sin^4x+\cos^4x+2\sin^2x\cos^2x}{\sin^2x\cos^2x} =\dfrac{(\sin^2x+\cos^2x)^2}{\sin^2x\cos^2x} =\dfrac{1}{\sin^2x\cos^2x}[/tex]

[tex]\mathrm{tg}\,^2x+\mathrm{ctg}\,^2x-2=\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}+ \dfrac{\cos^2x}{\sin^2x}- 2=[/tex]

[tex]=\dfrac{\sin^4x+\cos^4x-2\sin^2x\cos^2x}{\sin^2x\cos^2x} =\dfrac{(\sin^2x-\cos^2x)^2}{\sin^2x\cos^2x}[/tex]

Теперь очевидно, что выражение под вторым корнем также  неотрицательно.

Используя преобразования, получим:

[tex]\dfrac{1}{\sin2x} \sqrt{\dfrac{1}{\sin^2x\cos^2x}} +\mathrm{ctg}\,2x\sqrt{\dfrac{(\sin^2x-\cos^2x)^2}{\sin^2x\cos^2x}}=4\cos^22x[/tex]

Извлекая корень из квадрата, получим модуль:

[tex]\dfrac{1}{\sin2x} \left|\dfrac{1}{\sin x\cos x}\right| +\mathrm{ctg}\,2x\left|\dfrac{\sin^2x-\cos^2x}{\sin x\cos x}\right|=4\cos^22x[/tex]

Преобразуем по формулам синуса и косинуса двойного угла:

[tex]\dfrac{1}{\sin2x} \left|\dfrac{2}{2\sin x\cos x}\right| +\mathrm{ctg}\,2x\left|\dfrac{-2(\cos^2x-\sin^2x)}{2\sin x\cos x}\right|=4\cos^22x[/tex]

[tex]\dfrac{1}{\sin2x} \left|\dfrac{2}{\sin 2x}\right| +\mathrm{ctg}\,2x\left|\dfrac{2\cos2x}{\sin 2x}\right|=4\cos^22x[/tex]

[tex]\dfrac{1}{\sin2x} \left|\dfrac{1}{\sin 2x}\right| +\dfrac{\cos2x}{\sin 2x}\left|\dfrac{\cos2x}{\sin 2x}\right|=2\cos^22x[/tex]

[tex]\dfrac{1+\cos2x|\cos2x|}{\sin 2x|\sin 2x|}=2\cos^22x[/tex]

Раскрываем модуль.

1 случай) [tex]\sin2x > 0;\ \cos2x > 0[/tex]

[tex]\dfrac{1+\cos^22x}{\sin ^22x}=2\cos^22x[/tex]

[tex]1+\cos^22x=2\cos^22x\sin ^22x[/tex]

[tex]1+\cos^22x=2\cos^22x(1-\cos^22x)[/tex]

[tex]1+\cos^22x=2\cos^22x-2\cos^42x[/tex]

[tex]2\cos^42x-\cos^22x+1=0[/tex]

[tex]D=(-1)^2-4\cdot2\cdot1 < 0[/tex]

Корней в данном случае нет.

2 случай) [tex]\sin2x > 0;\ \cos2x < 0[/tex]

[tex]\dfrac{1-\cos^22x}{\sin ^22x}=2\cos^22x[/tex]

[tex]1-\cos^22x=2\cos^22x\sin ^22x[/tex]

[tex]1-\cos^22x=2\cos^22x(1-\cos^22x)[/tex]

[tex]1-\cos^22x=2\cos^22x-2\cos^42x[/tex]

[tex]2\cos^42x-3\cos^22x+1=0[/tex]

По свойствам коэффициентов корни равны 1 и 1/2.

[tex]\cos^22x=1\Rightarrow \cos2x=\pm1\Rightarrow 2x=\pi n\Rightarrow x=\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

Но полученные в этой ситуации корни противоречат ОДЗ.

[tex]\cos^22x=\dfrac{1}{2} \Rightarrow \cos2x=\pm\dfrac{\sqrt{2} }{2} \Rightarrow 2x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

На этом шаге удобно выполнить отбор, так как условие при раскрытии модуля задано для "2х".

Заметим, что графически решение [tex]2x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2}[/tex] распадается на серию из 4 точек:

[tex]2x_1=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k;\ 2x_2=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k;\ 2x_3=\dfrac{5\pi}{4}+2\pi k;\ 2x_4=\dfrac{7\pi}{4}+2\pi k[/tex]

расположенных в 1, 2, 3, 4 четвертях соответственно. Условию раскрытия модуля удовлетворяют точки второй четверти, поэтому:

[tex]2x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n \Rightarrow \boxed{x=\dfrac{3\pi}{8}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}}[/tex]

3 случай) [tex]\sin2x < 0;\ \cos2x > 0[/tex]

[tex]\dfrac{-1+\cos^22x}{\sin ^22x}=2\cos^22x[/tex]

[tex]-1+\cos^22x=2\cos^22x\sin ^22x[/tex]

[tex]-1+\cos^22x=2\cos^22x(1-\cos^22x)[/tex]

[tex]-1+\cos^22x=2\cos^22x-2\cos^42x[/tex]

[tex]2\cos^42x-\cos^22x-1=0[/tex]

По свойствам коэффициентов корни равны 1 и -1/2.

Уравнение [tex]\cos^22x=1[/tex] мы решали на предыдущем шаге и корней, удовлетворяющих ОДЗ оно не дало. Уравнение [tex]\cos^22x=-\dfrac{1}{2}[/tex] решений не имеет из-за неотрицательности левой части.

4 случай) [tex]\sin2x < 0;\ \cos2x < 0[/tex]

[tex]\dfrac{-1-\cos^22x}{\sin ^22x}=2\cos^22x[/tex]

[tex]-1-\cos^22x=2\cos^22x\sin ^22x[/tex]

[tex]-1-\cos^22x=2\cos^22x(1-\cos^22x)[/tex]

[tex]-1-\cos^22x=2\cos^22x-2\cos^42x[/tex]

[tex]2\cos^42x-3\cos^22x-1=0[/tex]

[tex]D=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-1)=17[/tex]

[tex]\cos^22x=\dfrac{3\pm\sqrt{17} }{4}[/tex]

Воспользовавшись оценками:

[tex]\dfrac{3-\sqrt{17} }{4}=\dfrac{\sqrt{9} -\sqrt{17} }{4} < 0[/tex]

[tex]\dfrac{3+\sqrt{17} }{4} > \dfrac{3+\sqrt{16} }{4}=\dfrac{7}{4} > 1[/tex]

понятно, что квадрат косинуса не может принимать отрицательных значений или значений, больше 1.

Таким образом, единственная серия корней:

[tex]\boxed{x=\dfrac{3\pi}{8}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}}[/tex]