Verified answer

Ответ:

наибольшее значение равно [tex]\dfrac{\pi }{4}[/tex],  наименьшее значение равно [tex]-\dfrac{2}{3}[/tex]

Объяснение:

Найдем наименьшее и наибольшее значение функции

[tex]f(x)= \dfrac{x}{2} -\dfrac{1}{4} sin2x +\dfrac{1}{3}cos^{3} x-cosx[/tex]

на заданном промежутке [tex]\left[ -\dfrac{\pi }{2} ;\dfrac{\pi }{2}\right][/tex]

Найдем производную данной функции, воспользовавшись  формулами

[tex](x)'=1 ;\\ (sinx)'=cosx; \\( cosx)'= -sinx.[/tex]

и правилом нахождения производной  сложной функции

[tex]f'(x)= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} \cdot 2\cdot \cos2x+ \dfrac{1}{3} \cdot3\cos^{2} x\cdot( -sinx) -(-sinx) =\\\\=\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \cos2x - \cos ^{2} x\cdot sinx +sinx=\dfrac{1}{2} \left (1-cos2x\right) +sinx( 1- cos^{2} x) =\\\\=\dfrac{1}{2} \cdot 2sin^{2} x+sinx\cdot sin^{2} x=sin^{2} x+sin^{3} x= sin^{2} x(1+sinx) .[/tex]

Найдем критические точки, решив уравнение

[tex]f'(x)=0[/tex]

[tex]sin^{2} x(sinx+1)=0[/tex]

[tex]\left [\begin{array}{l} sin^{2}x =0,\\sinx+1 = 0; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left [\begin{array}{l} sinx =0,\\sinx= -1; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left [\begin{array}{l} x =\pi n,~n\in\mathbb {Z}\\x = -\dfrac{\pi }{2}+2\pi k,~k\in\mathbb {Z} .\end{array} \right.[/tex]

Заданному промежутку принадлежат точки [tex]0[/tex]  и [tex]-\dfrac{\pi }{2}[/tex]. Поэтому найдем значение функции на концах отрезка и в точке 0.

[tex]f\left(-\dfrac{\pi }{2}\right )=-\dfrac{\pi }{4} -\dfrac{1}{4} \sin (-\pi )+\dfrac{1}{3} cos^{3} \left(-\dfrac{\pi }{2}\right )-\cos \left(-\dfrac{\pi }{2}\right )=-\dfrac{\pi }{4} +\dfrac{1}{4} \sin \pi =-\dfrac{\pi }{4};[/tex]

[tex]f(0)= 0-\dfrac{1}{4} \cdot sin0+\dfrac{1}{3} \cdot cos^{3} 0-cos0=\dfrac{1}{3} \cdot 1-1=\dfrac{1}{3} -\dfrac{3}{3} =-\dfrac{2}{3} ;[/tex]

[tex]f\left(\dfrac{\pi }{2}\right )=\dfrac{\pi }{4} -\dfrac{1}{4} \sin \pi +\dfrac{1}{3} cos^{3} \dfrac{\pi }{2}-\cos \dfrac{\pi }{2}=\dfrac{\pi }{4} -\dfrac{1}{4} \sin \pi =\dfrac{\pi }{4}.[/tex]

Тогда наибольшее значение равно [tex]\dfrac{\pi }{4}[/tex],

а наименьшее значение равно [tex]-\dfrac{2}{3}[/tex]