Ответ:

[tex]\displaystyle ln|x+2|+\frac{3}{2} ln|x^2-4x+5|+7*arctg(x-2)+ C[/tex]

Объяснение:

[tex]\displaystyle \int\limits {\frac{4x^2+3x+7}{(x+2)(x^2-4x+5)}} \, dx = \int\limits ({\frac{4x^2+3x+7}{x^3-4x^2+5x+2x^2-8x+10})dx} = \int\limits {(\frac{4x^2+3x+7}{x^3-2x^2-3x+10})}dx[/tex]

________________________________________________________

Т.к.высшая степень числителя меньше высшей степени знаменателя, ты мы можем попробовать метод неопределённых коэффициентов

[tex]\displaystyle \frac{4x^2+3x+7}{(x+2)(x^2-4x+5)}} =\frac{A}{x+2}+\frac{Bx+C}{x^2-4x+5}|*(x+2)(x^2-4x+5)[/tex]

[tex]\displaystyle 4x^2+3x+7 =(x^2-4x+5)*A+(x+2)*(Bx+C)[/tex]

Пусть х = -2, тогда

[tex]\displaystyle 4*(-2)^2+3*(-2)+7 =((-2)^2-4*(-2)+5)*A+(-2+2)*(B*(-2)+C)[/tex]

[tex]\displaystyle 4*4-6+7=(4+8+5)*A+0*(-2B+C)[/tex]

[tex]\displaystyle 16+1=17*A|:17[/tex]

[tex]\displaystyle A=1[/tex]

Пусть х = 0, тогда

[tex]\displaystyle 4*0^2+3*0+7 =(0^2-4*0+5)*1+(0+2)*(B*0+C)[/tex]

[tex]\displaystyle 7=5+2*C[/tex]

[tex]\displaystyle 2C = 7-5|:2[/tex]

[tex]\displaystyle C=1[/tex]

Пусть х = 1, тогда

[tex]\displaystyle 4*1^2+3*1+7 =(1^2-4*1+5)*1+(1+2)*(B*1+1)[/tex]

[tex]\displaystyle 4+3+7 =(1-4+5)+3*(B+1)[/tex]

[tex]\displaystyle 14=2+3B+3[/tex]

[tex]\displaystyle 3*B = 14-5|:3[/tex]

[tex]\displaystyle B=3[/tex]

_______________________________________________________

[tex]\displaystyle \int\limits {\frac{4x^2+3x+7}{(x+2)(x^2-4x+5)}} \, dx = \int\limits {(\frac{1}{x+2}+\frac{3x+1}{x^2-4x+5} }) dx= \int\limits {\frac{dx}{x+2}}+\int\limits ({\frac{3x+1}{x^2-4x+5} }) \, dx=[/tex]

[tex]\displaystyle = \int\limits {\frac{d(x+2)}{x+2}} \, + \int\limits (\frac{\frac{3}{2}(2x+4) +7}{x^2-4x+5}} )\, dx = ln|x+2|+\frac{3}{2} \int\limits (\frac{2x+4}{x^2-4x+5}} )\, dx +\int\limits (\frac{7}{x^2-4x+5}} )\, dx =ln|x+2|+\frac{3}{2} \int\limits {\frac{du}{u}+7\int\limits \frac{dx}{(x-2)^2+1}} \,=[/tex]

_______________________________________________________

Пусть x²-4x+5 = u, тогда du = (2x-4)dx
_______________________________________________________
Пусть x-2 = v, тогда dv = dx
_______________________________________________________

[tex]\displaystyle =ln|x+2|+\frac{3}{2} ln|u|+7\int\limits {\frac{dv}{v^2+1} } \, = ln|x+2|+\frac{3}{2} ln|x^2-4x+5|+7*arctg(v) = ln|x+2|+\frac{3}{2} ln|x^2-4x+5|+7*arctg(x-2)+ C[/tex]