Verified answer

Ответ: [tex](3;4)[/tex]

Пошаговое объяснение:

Необходимо решить неравенство:

[tex]12x - 2x^2 - 13\geq \sqrt{3y^2-24y+73}[/tex]

Для начала дам одну удобную формулу для расчета ординаты вершины параболы через ее абсциссу, чтобы разбавить чем-нибудь интересным слишком скучную задачку. Можете показать своему учителю.

Пусть имеется произвольный квадратный трехчлен:

[tex]P(x) = ax^2 + bx + c[/tex]

Найдем абсциссу его вершины:

[tex]x_{v} = \frac{-b}{2a}[/tex]

Теперь найдем  ординату его вершины и преобразуем ее к удобному виду:

[tex]y_{v} = P(x_{v})= a*(\frac{-b}{2a})^2 + b *\frac{-b}{2a} + c\\y_{v} = a*(\frac{-b}{2a})^2 -2a*(\frac{-b}{2a})^2 + c \\y_{v} = P(x_{v}) = c - ax_{v}^2[/tex]

Последняя формула иногда является удобной при расчете ординаты вершины параболы.

Рассмотрим квадратный трехчлен (параболу):

[tex]P_{1} (x) = 12x-2x^2-13[/tex]

Ветви данной параболы идут вниз, ибо коэффициент [tex]a < 0[/tex].

Значит в вершине данной параболы достигается НАИБОЛЬШЕЕ значение.

Найдем координаты вершины данной параболы:

[tex]x_{v} = \frac{-b}{2a} = \frac{-12}{-4} = 3\\P_{1}(x_{v}) = -13 + 2*3^2 = 5[/tex]

Как видим, наибольшее значение данной параболы равно: [tex]5[/tex], а достигается оно при [tex]x = 3[/tex].

Рассмотрим подкоренную параболу справа:

[tex]P_{2}(y) = 3y^2 -24y + 73[/tex] (Не путайте обозначения букв вершин! Тут многочлен зависит от [tex]y[/tex], поэтому АБСЦИССА вершины (не ОРДИНАТА!) будет обозначаться как [tex]y_{v}[/tex], а ордината, как и в предыдущем случае, [tex]P_{2} (y_{v} )[/tex], чтобы не запутаться в обозначениях.)

Ветви данной параболы идут вверх, ибо коэффициент [tex]a > 0[/tex].  

Значит в вершине данной параболы достигается НАИМЕНЬШЕЕ значение.

Найдем координаты вершины данной параболы:

[tex]y_{v} = \frac{-b}{2a} = \frac{24}{6} = 4\\P_{2} (y_{v}) = 73 - 3*4^2 = 73 - 48 = 25[/tex]

Как видим, наименьшее значение данной параболы равно: [tex]25[/tex], а достигается оно при [tex]y = 4[/tex].

Таким образом, наименьшее значение для подкоренной функции справа равно:

[tex]\sqrt{25} = 5[/tex]

Откуда видно, что НАИБОЛЬШЕЕ значение левой части нашего неравенства совпадает с НАИМЕНЬШИМ значением правой части нашего неравенства, иначе говоря, левая часть часть неравенства не может быть больше правой.

Другими словами случай, когда:

[tex]12x - 2x^2 - 13\ > \sqrt{3y^2-24y+73}[/tex]

невозможен.

Остается рассмотреть вариант, когда:

[tex]12x - 2x^2 - 13 = \sqrt{3y^2-24y+73}[/tex]

Равенство наступает только когда левая и правая часть равна [tex]5[/tex], то есть когда:

[tex]x = 3\\y = 4[/tex]

Таким образом, пара [tex](3;4)[/tex]  является единственным решением данного неравенства.