Основные формулы дифференцирования:

[tex](\mathrm{tg}\,x)'=\dfrac{1}{\cos^2x}[/tex]

[tex]\left(\dfrac{1}{x} \right)'=-\dfrac{1}{x^2}[/tex]

Дифференцирование сложной функции:

[tex](f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)[/tex]

Рассмотрим функцию:

[tex]y = \mathrm{tg}\,\dfrac{x + 1}{x}[/tex]

Находим производную:

[tex]y' =\dfrac{1}{\cos^2\frac{x + 1}{x} }\cdot\left(\dfrac{x + 1}{x} \right)'=\dfrac{1}{\cos^2\frac{x + 1}{x} }\cdot\left(1+\dfrac{1}{x} \right)'=[/tex]

[tex]=\dfrac{1}{\cos^2\frac{x + 1}{x} }\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2} \right)'=\boxed{-\dfrac{1}{x^2\cos^2\frac{x + 1}{x} }}[/tex]