[tex]t\leqslant 0 \Rightarrow t^3 \leqslant 0[/tex] и также [tex]-t^4 \leqslant 0[/tex]
Соответственно вся правая часть данного уравнения меньше нуля , а квадрат положительного числа не может быть равен отрицательному числу , из чего можно сделать вывод , что данное уравнение действительных корней не имеет.
Уравнение 4-й степени мы можем выкинуть , и нам остается только решить уравнение :
[tex]t^2 (t+1) =0[/tex]
Вернемся к старой переменной sin x = t
[tex]\sin^2 x (\sin x+1) =0 \\\\ \left [\begin{array}{l} \sin x =0 \\\\ \sin x + 1 =0 \end{array} \Rightarrow \left [\begin{array}{l} x =\pi n \\\\ x =-\dfrac{\pi }{2}+ 2\pi n ~, ~ n \in \mathbb Z\end{array}[/tex]
1 votes Thanks 1
Аккаунт удален
Здравствуйте. Я вижу что вы модератор и хотел бы вас попросить чтобы вы проверили мои ответы. Просто я хочу, чтобы у моих ответов был статус "Проверенный экспертом". Я знаю что они правильные, но хочу чтобы люди сразу видели, что ответ проверенный и ему можно доверять. Ну и чтобы всякий кто заходит в профиль видел эти статусы)
Аккаунт удален
Если вы не очень хорошо разбираетесь в физике, то может у вас есть знакомые модераторы, которые хорошо разбираются в разных предметах и смогут проверить мои ответы вместо вас.
Answers & Comments
Ответ:
[tex]\left [\begin{array}{l} x =\pi n \\\\x =-\dfrac{\pi }{2}+ 2\pi n ~, ~ n \in \mathbb Z\end{array}[/tex]
Объяснение:
Найдем ограничение
[tex]\cos ^4 x - \sin ^7x = 1 \\\\ \sin ^ 7x = \cos^4 x -1 \\\\ \sin ^7 x = ( \cos ^2x -1)(\cos ^2x+1) \\\\ \sin ^7 x = - \underbrace{\sin ^2 x}_{\geq 0}\cdot \underbrace{ (1 + \cos ^2x)}_{\geq 0}[/tex]
Таким образом [tex]\sin ^ 7 x \leqslant 0 \Rightarrow \sin x \leqslant 0[/tex]
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством :
[tex]\sin ^2 x + \cos ^2x = 1 \\\\ (\cos ^2x)^2 =( 1 -\sin ^2 x )^2\\\\\cos^4x = 1 - 2\sin ^2x + \sin ^4x[/tex]
Тогда мы получим уравнение
[tex]1- 2\sin ^2 x +\sin ^4 x -\sin ^7x = 1 \\\\ \sin ^7 x -\sin ^4x + 2\sin ^2x =0 \\\\[/tex]
Введем замену :
[tex]\sin x = t ~~ , ~~\boldsymbol{\underline{ t\leqslant 0}}\\\\t^7 -t^4 + 2t^2 =0 \\\\ t^2 (t^5 - t^2 + 2) =0[/tex]
Рассматриваем уравнение в скобках , методом подбора находим корень t = - 1 , а далее применяем схему Горнера
[tex]\large \begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|} \bold {-1 }& \stackrel{\pmb{t^5}}{1} & \stackrel{\pmb{t^4}}{0} & \stackrel{\pmb{t^3}}{0} & \stackrel{\pmb{t^2}}{-1} & \stackrel{\pmb t}{0} & \stackrel {\pmb 1}{2} \cline{8-14} &&-1&1&-1&2&-2 \cline{8-14} & &-1&1&-2&2&0 \cline{8-14} \end{array}[/tex]
[tex]t^5 -t^2 + 2 =(t+1)(t^4 -t^3 + t^2 -2t + 2)[/tex]
Рассмотрим уравнение 4-й степени
[tex]t^4 -t^3 + t^2 -2t + 2 = 0 \\\\ t^2 -2t +2 = t^3 - t^4 \\\\ (t-1)^2+1 =t^3 - t^4 \\\\ (t-1)^2 = t^3 - t^4 - 1[/tex]
А как мы знаем
[tex]t\leqslant 0 \Rightarrow t^3 \leqslant 0[/tex] и также [tex]-t^4 \leqslant 0[/tex]
Соответственно вся правая часть данного уравнения меньше нуля , а квадрат положительного числа не может быть равен отрицательному числу , из чего можно сделать вывод , что данное уравнение действительных корней не имеет.
Теперь мы можем полностью записать разложение :
[tex]t^7 -t^4 + 2t^2 =t^2 (t+1)(t^4 -t^3 +t^2 -2 t +2)[/tex]
Уравнение 4-й степени мы можем выкинуть , и нам остается только решить уравнение :
[tex]t^2 (t+1) =0[/tex]
Вернемся к старой переменной sin x = t
[tex]\sin^2 x (\sin x+1) =0 \\\\ \left [\begin{array}{l} \sin x =0 \\\\ \sin x + 1 =0 \end{array} \Rightarrow \left [\begin{array}{l} x =\pi n \\\\ x =-\dfrac{\pi }{2}+ 2\pi n ~, ~ n \in \mathbb Z\end{array}[/tex]