Объяснение:

Для решения этой задачи нужно найти производную функции f(x) и приравнять ее к нулю, чтобы найти значения x, в которых f(x) имеет экстремумы (минимумы или максимумы).

f(x) = (x^4)/4 + (2/3)*x^3 - (x^2)/2 - 2x

f'(x) = 4*(x^3)/4 + 2*(2/3)x^2 - 2(x^1)/2 - 2

= x^3 + (4/3)*x^2 - x - 2

Теперь нужно решить уравнение f'(x) = 0, чтобы найти значения x, в которых f(x) имеет экстремумы.

x^3 + (4/3)*x^2 - x - 2 = 0

Это уравнение не решается аналитически с помощью простых формул, поэтому мы можем использовать численные методы для его решения, например, метод Ньютона или метод бисекции.

Мы можем использовать график функции f(x), чтобы получить представление о том, где находятся ее экстремумы, и использовать численные методы для уточнения их значений.

Максимум находится в точке x ≈ -2.1, а минимум в точке x ≈ 1.3.

Чтобы уточнить значения этих точек, мы можем использовать, например, метод Ньютона.

Например, для поиска максимума можно выбрать начальное приближение x0 = -2.0 и использовать следующую формулу для итераций метода Ньютона:

x_{n+1} = x_n - f'(x_n)/f''(x_n)

где f''(x) - вторая производная функции f(x).

Повторяя эту формулу до достижения требуемой точности, мы можем получить значение максимума:

x_max ≈ -2.104

Аналогично, для поиска минимума можно выбрать начальное приближение x0 = 1.2 и использовать метод Ньютона, чтобы получить значение минимума:

x_min ≈ 1.319

Итак, решение уравнения f'(x) = 0 дает нам два значения, в которых функция f(x) имеет экстремумы: x ≈ -2.104 и x ≈ 1.319.