Докажите, что при любом натуральном n, большем 1,выражение [tex]7^{2n}-4^{2n}-297[/tex] делится на 264
264=33*8
Докажем, что выражение кратно 33 и 8.
Преобразуем:
То есть кратно 33.
Рассмотрим второй множитель, состоящий из нескольких слагаемых . Все слагаемые, которые содержат множитель 16 в той или иной степени, кратны 8.
Обратимся к тем слагаемым, которые не содержат такого множителя, то есть к разности .
Преобразуем . Каждое из алгебраических слагаемых делится на 8, значит, разность также кратна 8.
Следовательно, множитель кратен 8.
Таким образом выражение кратно 33 и 8, то есть кратно 264, ч.т.д..
Copyright © 2025 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Verified answer
264=33*8
Докажем, что выражение
кратно 33 и 8.
Преобразуем:![7^{2n}-4^{2n}-297=49^n-16^n-33*9=(49-16)(49^{n-1}+49^{n-2}\cdot16+49^{n-3}\cdot16^2+...+49^2\cdot16^{n-3}+49\cdot16^{n-2}+16^{n-1})-33*9=33\cdot (49^{n-1}+49^{n-2}\cdot16+49^{n-3}\cdot16^2+...+49^2\cdot16^{n-3}+49\cdot16^{n-2}+16^{n-1}-9) 7^{2n}-4^{2n}-297=49^n-16^n-33*9=(49-16)(49^{n-1}+49^{n-2}\cdot16+49^{n-3}\cdot16^2+...+49^2\cdot16^{n-3}+49\cdot16^{n-2}+16^{n-1})-33*9=33\cdot (49^{n-1}+49^{n-2}\cdot16+49^{n-3}\cdot16^2+...+49^2\cdot16^{n-3}+49\cdot16^{n-2}+16^{n-1}-9)](https://tex.z-dn.net/?f=7%5E%7B2n%7D-4%5E%7B2n%7D-297%3D49%5En-16%5En-33%2A9%3D%2849-16%29%2849%5E%7Bn-1%7D%2B49%5E%7Bn-2%7D%5Ccdot16%2B49%5E%7Bn-3%7D%5Ccdot16%5E2%2B...%2B49%5E2%5Ccdot16%5E%7Bn-3%7D%2B49%5Ccdot16%5E%7Bn-2%7D%2B16%5E%7Bn-1%7D%29-33%2A9%3D33%5Ccdot%20%2849%5E%7Bn-1%7D%2B49%5E%7Bn-2%7D%5Ccdot16%2B49%5E%7Bn-3%7D%5Ccdot16%5E2%2B...%2B49%5E2%5Ccdot16%5E%7Bn-3%7D%2B49%5Ccdot16%5E%7Bn-2%7D%2B16%5E%7Bn-1%7D-9%29%20)
То есть
кратно 33.
Рассмотрим второй множитель, состоящий из нескольких слагаемых
. Все слагаемые, которые содержат множитель 16 в той или иной степени, кратны 8.
Обратимся к тем слагаемым, которые не содержат такого множителя, то есть к разности
.
Преобразуем
. Каждое из алгебраических слагаемых делится на 8, значит, разность
также кратна 8.
Следовательно, множитель
кратен 8.
Таким образом выражение
кратно 33 и 8, то есть кратно 264, ч.т.д..