Verified answer

ОДЗ: a ≥ 0

Геометрия уравнений:

·  1-ое уравнение системы можно представить в виде

- это уравнение окружности с центром, движущимся по кривой y=√x и радиусом (a-√a)/√2.

·  2-ое уравнение - совокупность двух прямых

1) Исследуем взаимное расположение первой прямой и окружности. Подставим y = x в первое уравнение системы. Получим квадратное уравнение:

⇒  прямая y = x является касательной к окружности при любых a ≥ 0, что дает нам одно решение системы:

(!)  Заметим, что при a = 0 и a = 1 окружность вырождается в точку         (0, 0) и (1, 1) соответственно  ⇒  система имеет только одно решение при этих значениях a.

2)  Исследуем взаимное расположение второй прямой и окружности. Подставим y = (x+4a)/(4√a) в первое уравнение системы. Получим квадратное уравнение:

Оценим дискриминант при значениях a = 2, a = 3, a ≥ 4:

·  a = 2

т.к. 95/66 = (99 - 4)/66 = 1.5 - (2/33) > 1.5 - (7/100) = 1.43 > √2 ≈ 1.41

·  a = 3

т.к. 190/98 = (196-6)/98 = 2 - (6/98) > 2 - (7/100) = 1.93 > √3 ≈ 1.73

·  a ≥ 4

- очевидно, т. к.

ведь

Таким образом, при целочисленном a ≥ 2 прямая пересекает окружность в двух различных точках и, соответственно, дает 2 решения системы. Убедимся что они не совпадают с полученным ранее решением при целочисленных a. Для этого подставим x = y =     = (a + √a)/2 в уравнение y = (x + 4a)/(4√a), откуда найдем a = (33+5√41)/32 - не явл. целочисленным.

При a = 0 и a = 1 система имеет одно решение. При a ≥ 2, a ∈ Z система имеет 3 решения.

Ответ: при любых целочисленных a ≥ 0.