Найдите наименьшее значение параметра а, при котором уравнение [tex] \sqrt{a+ \sqrt{a+x} } =x[/tex] имеет только один корень.
Answers & Comments
doc17
Так как х = корню ==> по определению х>=0, иначе выражение не имеет смысла ==> спокойно возведем обе части в квадрат: а + sqrt(a+x) = x^2 ==> sqrt(a+x) = x^2 - a
Попробуем представить, как же выглядят графики данных функций. График функции слева - график квадратного корня, сдвинутого влево на "а" , а график функции справа - параболы с вершиной в точке (0; -а).
Однако, вначале мы написали, что х>=0 ==> мы не будем рассматривать функции на х<0, то есть, мы будем работать только в 1 и 4 четвертях.
Очевидно, что при а=0 графики данных функций пересекаются в 2 точках, в нуле и 1; Если мы будем увеличивать "а", то есть брать а>0, то точка, в которой корень "берет свое начало" будет отодвигаться влево по оси ОХ, и мы лишь увидим в 1 четверти часть корня; в то же время вершина параболы будет отодвигаться вниз, а так как мы рассматриваем только её правую ветку, то, думаю, очевидно, что мы получим 1 точку пересечения графиков.
Будем теперь работать с a<0 : корень "уезжает" вправо, а вершина параболы поднимается по ОУ. Сначала они имеют 2 точки пересечения, потом одну, а потом и вовсе 0. При таком раскладе мы требуем, чтобы обе кривых - графика соответствующих функций имели 1 точку пересечения, то есть касались друг друга. Что для этого требуется? Необходимо, чтобы оба графика функций имели одну и ту же касательную в этой точке.
Для того, чтобы не решать сложные и некрасивые уравнения при поиске касательной, заметим, что sqrt(x) - обратная для x^2 функция, а sqrt(a+x) - обратная для x^2 - a функция ==>в первой четверти график одной из функций получается отображением графика другой функции относительно прямой у=х, а при а<0 наши графики как раз лежат в 1 четверти, отсюда следует, что если графики касаются, то их общей касательной в данной точке является прямая у=х.
Угловой коэффициент касательной = 1 = производной от (x^2 - a) в точке х0 > 0 ==> 2х0 = 1 ==> x0 = 1/2 - мы нашли абсциссу касания, подставив абсциссу в уравнение параболы найдем, что точка касания (1/2 ; 1/4 - a) а подставив абсциссу в уравнение - точка (1/2 ; sqrt(a + 1/2) ) ==> sqrt(1/2 + a) = 1/4 - a ==> 1/2 + a = 1/16 - a/2 + a^2 ==> a^2 - 3a/2 -7/16 = 0 ==> так как а<0 , то а = (3/2 - 2)/2 = -1/4
Таким образом, наименьшее "а", такое, что исходное уравнение имеет ровно 1 корень = -1/4
Answers & Comments
Попробуем представить, как же выглядят графики данных функций. График функции слева - график квадратного корня, сдвинутого влево на "а" , а график функции справа - параболы с вершиной в точке (0; -а).
Однако, вначале мы написали, что х>=0 ==> мы не будем рассматривать функции на х<0, то есть, мы будем работать только в 1 и 4 четвертях.
Очевидно, что при а=0 графики данных функций пересекаются в 2 точках, в нуле и 1; Если мы будем увеличивать "а", то есть брать а>0, то точка, в которой корень "берет свое начало" будет отодвигаться влево по оси ОХ, и мы лишь увидим в 1 четверти часть корня; в то же время вершина параболы будет отодвигаться вниз, а так как мы рассматриваем только её правую ветку, то, думаю, очевидно, что мы получим 1 точку пересечения графиков.
Будем теперь работать с a<0 : корень "уезжает" вправо, а вершина параболы поднимается по ОУ. Сначала они имеют 2 точки пересечения, потом одну, а потом и вовсе 0. При таком раскладе мы требуем, чтобы обе кривых - графика соответствующих функций имели 1 точку пересечения, то есть касались друг друга. Что для этого требуется? Необходимо, чтобы оба графика функций имели одну и ту же касательную в этой точке.
Для того, чтобы не решать сложные и некрасивые уравнения при поиске касательной, заметим, что sqrt(x) - обратная для x^2 функция, а sqrt(a+x) - обратная для x^2 - a функция ==>в первой четверти график одной из функций получается отображением графика другой функции относительно прямой у=х, а при а<0 наши графики как раз лежат в 1 четверти, отсюда следует, что если графики касаются, то их общей касательной в данной точке является прямая у=х.
Угловой коэффициент касательной = 1 = производной от (x^2 - a) в точке х0 > 0 ==> 2х0 = 1 ==> x0 = 1/2 - мы нашли абсциссу касания, подставив абсциссу в уравнение параболы найдем, что точка касания (1/2 ; 1/4 - a)
а подставив абсциссу в уравнение - точка (1/2 ; sqrt(a + 1/2) )
==> sqrt(1/2 + a) = 1/4 - a ==> 1/2 + a = 1/16 - a/2 + a^2 ==> a^2 - 3a/2 -7/16 = 0 ==> так как а<0 , то а = (3/2 - 2)/2 = -1/4
Таким образом, наименьшее "а", такое, что исходное уравнение имеет ровно 1 корень = -1/4