Чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции на промежутке нужно:

1) найти производную исходной функции

2) приравнять производную к нулю и найти корни

3) определить, входят ли корни в промежуток

а) если входят, то определить значение в крайних точках промежутка и значение в корнях

б) если корни не входят в промежуток, найти значении функции только в крайних точках

[tex]\displaystyle\\\\f(x)=x^3-6x^2+9x+3\\1) f'(x)=3x^2-12x+9\\\\2) 3x^2-12x+9=0\\D=(-12)^2-4\times9\times3=144-108=36=6^2\\\\x_{1,2}=\frac{12\pm6}{6} =\bigg[^\bigg3_\bigg1[/tex]

3 - не входит в промежуток, 1 - входит в промежуток

[tex]3)\\f(0)=0^3-6\times0^2+9\times0+3=3\\f(1)=1^3-6\times1^2+9\times1+3=7\\f(2)=2^3-6\times2^2+9\times2+3=5[/tex]

Наибольшее значение функции [tex]f(x)=x^3-6x^2+9x+3[/tex] на промежутке [0; 2] равно 7