Помогите решить интеграл[tex] \frac{ \sqrt{1- x^{2} } }{ x^{2} } [/tex]. Created by fugarus. matematika-ru

С помощью тригонометрической подстановки:х=sint, dx= cost dtВозращаемся к переменной х:sint=x, cost=√(1-sin²t)=√(1-x²) ⇒ctgt=cost/sin t= √(1-x²)/х , t=arcsin xОтвет.

tex]...

fugarus @fugarus

July 2022 1 18 Report

Помогите решить интеграл[tex] \frac{ \sqrt{1- x^{2} } }{ x^{2} } [/tex]

Answers & Comments

nafanya2014

Verified answer

С помощью тригонометрической подстановки:
х=sint, dx= cost dt

$\int\limits { \frac{ \sqrt{1- x^{2} } }{ x^{2} } } \, dx = \int\limits { \frac{ \sqrt{1-sin ^{2}t } }{sin ^{2}t } } \, costdt =$

$= \int\limits { \frac{cos ^{2} t}{sin ^{2} t} } \, dt = \int\limits { \frac{1-sin ^{2}t }{sin ^{2}t } } \, dt =$

$= \int\limits{ (\frac{1}{sin ^{2}t }-1) } \, dt=-ctgt-t+C=$

Возращаемся к переменной х:
sint=x, cost=√(1-sin²t)=√(1-x²) ⇒ctgt=cost/sin t= √(1-x²)/х , t=arcsin x

Ответ. $- \frac{ \sqrt{1- x^{2} } }{x}-arcsinx+C$

3 votes Thanks 2

fugarus Cпасибо большое.Я не додумался перейти от cos^2 к 1-sin^2

fugarus как поставить лучшим ответом?

Answers & Comments

Verified answer

Helpful Links

Helpful Social