tex]...

July 2022 1 55 Report

Челлендж для смелых

Пусть [tex]Q=[0,1]^2[/tex] и [tex]f \in {\bf C}(Q)[/tex].

Вычислить предел

[tex]\lim\limits_{n\to \infty}( \frac{(2n+1)!}{(n!)^2})^{2}\int\limits_Q (x_1x_2(1-x_1)(1-x_2))^{n}f(x_1,x_2)dx_1dx_2[/tex]

Answers & Comments

nelle987

Verified answer

Ответ:

$f(\frac12,\frac12)$

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \left(\frac{(2n+1)!}{(n!)^2}\right)^2\iint_Qdx_1\,dx_2\,(x_1(1-x_1))^n(x_2(1-x_2))^n=\\=\left(\frac{(2n+1)!}{(n!)^2}\int_0^1 dx\, (x(1-x))^n\right)^2=:\left(\int_0^1 u_n(x)\,dx\right)^2$

Выражение в скобках равно 1, достаточно n раз проинтегрировать по частям:

$\displaystyle \int_0^1 dx\, x^n(1-x)^n=-\frac1{n+1}\left.x^n(1-x)^{n+1}\right|_0^1+\frac n{n+1}\int_0^1dx\, x^{n-1}(1-x)^{n+1}=\\=\frac{n(n-1)}{(n+1)(n+2)}\int_0^1dx\,x^{n-2}(1-x)^{n+2}=\dots=\\=\frac{n!}{(n+1)(n+2)\cdots2n}\int_0^1 dx\,(1-x)^{2n}=\frac{(n!)^2}{(2n+1)!}$

Тогда

$\displaystyle\iint_Qdx_1\,dx_2\,u_n(x_1)u_n(x_2) f(x_1,x_2)=f\left(\frac12,\frac12\right)+\iint_Qdx_1\,dx_2\,u_n(x_1)u_n(x_2)\times\\\times\left(f(x_1,x_2)-f\left(\frac12,\frac12\right)\right)$

Значение интеграла стремится к нулю: функции $u_n(x)$ быстро уменьшаются при отдалении от $x=1/2$ , а вблизи точки $A=(1/2,1/2)$ разность значений функций мала ввиду непрерывности f.

Более формально:

1. Функция f непрерывна, поэтому для любого $\varepsilon>0$ найдётся такая $\delta>0$ , что для всех $(x_1,x_2)$ из $U=[1/2-\delta,1/2+\delta]^2$ выполнено неравенство $|f(x_1,x_2)-f(A)|$

2. Функция f непрерывна на компакте Q, тогда она ограничена на Q. Тогда найдётся число M > 0, для которого $|f(x_1,x_2)-f(A)|$ при всех $(x_1,x_2)\in Q$ .

3. Очевидно, максимум функции $u_n(x)$ на множестве $[0,1]\backslash[1/2-\delta,1/2+\delta]$ достигается в точках $1/2\pm\delta$ . Покажем, что при возрастании n он становится сколь угодно малым (в частности, найдётся такое N, что при всех n > N максимум будет меньше $\sqrt{\varepsilon/2M}$ ).

Формула Стирлинга позволяет получить асимптотику для коэффициента с факториалами:

$(2n+1)\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}\sim\dfrac{(2n+1)4^n}{\sqrt{\pi n}}$

Тогда максимум при больших n будет «примерно»

$\dfrac{(2n+1)4^n}{\sqrt{\pi n}}\cdot\left(\dfrac14-\delta^2\right)^n\sim2\sqrt{\dfrac{n}{\pi}}(1-4\delta^2)^n\to 0$

Собираем вместе: для любого $\varepsilon>0$ найдётся такое N, что при всех n > N

$\displaystyle\left|\iint_Qdx_1\,dx_2\,u_n(x_1)u_n(x_2)\times\left(f(x_1,x_2)-f\left(M\right)\right)\right|=\left|\displaystyle\iint_U+\iint_{Q\backslash U}\dots\right|$

3 votes Thanks 1

viva34 Конечнр, надежды были на "выведем ответ" а не на "угадаем его и проверим")))

viva34 почему 1/2? Откудаьэто предположение? выглядит мухлежно))

nelle987 Хоть я и не пишу в ответе о логике того, как появилась идея о том, что должно быть в ответе, в принципе всё было очевидно и согласуется с написанным. Всё напишу для одномерного случая, двумерность здесь ничего не меняет.

nelle987 Неформальное решение было таким: функции u_n(x) при больших n имеют острый максимум вблизи x = 1/2, в остальных точках всё должно очень быстро стремиться к нулю. Функция f меняется медленно. Значит, интеграл от u(x)f(x) не должен зависеть от значений f далеко от x = 1/2, для больших n - это некое A_n, умноженное на f(1/2). По большому счету, в решении требовалось определить lim(A_n) и формализовать соображения, написанные выше.

viva34 Так выходит, что можно подставить любую точку в функцию, и получить в ответе f(x,y) для любых аргумннтов с квадрата. Подставим f(0,0), интеграл все так же стремится к нулю, разность f(x,y)-f(0,0) ограничим максимумом. В пределе получится f(0,0)

viva34 да и там во всех точках u_x бегом стремится к нулю, не только в далеких от (.5,.5), даже так, эта точка не медленнее всех к нулю устремляется

nelle987 Значение функции в любой точке прибавить-вычесть можно, но интеграл с разностью не будет мал. Собственно, третий пункт не выполнится: из разложения видно, что u_n(1/2) растет как корень из n (а ширина максимума уменьшается как один делить на корень, чтобы в итоге интеграл от u_n(x) был равен константе, к слову).

nelle987 Так что если в ответе будет какое-нибудь f(x0, y0), то при достаточно маленьком epsilon точка (1/2, 1/2) попадет в Q\U и финт не пройдет

nelle987 Ну а то, что поточечно u_n во всех точках кроме одной сходятся к нулю - так дельтообразные последовательности и работают

tex8c064187076ed3a101d9ec47c5625696 51297

Answer

Answers & Comments

Verified answer

tex8c064187076ed3a101d9ec47c5625696 51297

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social