Выражение в скобках равно 1, достаточно n раз проинтегрировать по частям:
Тогда
Значение интеграла стремится к нулю: функции быстро уменьшаются при отдалении от , а вблизи точки разность значений функций мала ввиду непрерывности f.
Более формально:
1. Функция f непрерывна, поэтому для любого найдётся такая , что для всех из выполнено неравенство
2. Функция f непрерывна на компакте Q, тогда она ограничена на Q. Тогда найдётся число M > 0, для которого при всех .
3. Очевидно, максимум функции на множестве достигается в точках . Покажем, что при возрастании n он становится сколь угодно малым (в частности, найдётся такое N, что при всех n > N максимум будет меньше ).
Формула Стирлинга позволяет получить асимптотику для коэффициента с факториалами:
Тогда максимум при больших n будет «примерно»
Собираем вместе: для любого найдётся такое N, что при всех n > N
3 votes Thanks 1
viva34
Конечнр, надежды были на "выведем ответ" а не на "угадаем его и проверим")))
viva34
почему 1/2? Откудаьэто предположение? выглядит мухлежно))
nelle987
Хоть я и не пишу в ответе о логике того, как появилась идея о том, что должно быть в ответе, в принципе всё было очевидно и согласуется с написанным. Всё напишу для одномерного случая, двумерность здесь ничего не меняет.
nelle987
Неформальное решение было таким: функции u_n(x) при больших n имеют острый максимум вблизи x = 1/2, в остальных точках всё должно очень быстро стремиться к нулю. Функция f меняется медленно. Значит, интеграл от u(x)f(x) не должен зависеть от значений f далеко от x = 1/2, для больших n - это некое A_n, умноженное на f(1/2). По большому счету, в решении требовалось определить lim(A_n) и формализовать соображения, написанные выше.
viva34
Так выходит, что можно подставить любую точку в функцию, и получить в ответе f(x,y) для любых аргумннтов с квадрата. Подставим f(0,0), интеграл все так же стремится к нулю, разность f(x,y)-f(0,0) ограничим максимумом. В пределе получится f(0,0)
viva34
да и там во всех точках u_x бегом стремится к нулю, не только в далеких от (.5,.5), даже так, эта точка не медленнее всех к нулю устремляется
nelle987
Значение функции в любой точке прибавить-вычесть можно, но интеграл с разностью не будет мал. Собственно, третий пункт не выполнится: из разложения видно, что u_n(1/2) растет как корень из n (а ширина максимума уменьшается как один делить на корень, чтобы в итоге интеграл от u_n(x) был равен константе, к слову).
nelle987
Так что если в ответе будет какое-нибудь f(x0, y0), то при достаточно маленьком epsilon точка (1/2, 1/2) попадет в Q\U и финт не пройдет
nelle987
Ну а то, что поточечно u_n во всех точках кроме одной сходятся к нулю - так дельтообразные последовательности и работают
Answers & Comments
Verified answer
Ответ:
Пошаговое объяснение:
Выражение в скобках равно 1, достаточно n раз проинтегрировать по частям:
Тогда
Значение интеграла стремится к нулю: функции быстро уменьшаются при отдалении от , а вблизи точки разность значений функций мала ввиду непрерывности f.
Более формально:
1. Функция f непрерывна, поэтому для любого найдётся такая , что для всех из выполнено неравенство
2. Функция f непрерывна на компакте Q, тогда она ограничена на Q. Тогда найдётся число M > 0, для которого при всех .
3. Очевидно, максимум функции на множестве достигается в точках . Покажем, что при возрастании n он становится сколь угодно малым (в частности, найдётся такое N, что при всех n > N максимум будет меньше ).
Формула Стирлинга позволяет получить асимптотику для коэффициента с факториалами:
Тогда максимум при больших n будет «примерно»
Собираем вместе: для любого найдётся такое N, что при всех n > N