tex]...

August 2022 1 39 Report

Как возвести комплексное число в 24 степень с помощью формулы Муавра?
[tex](1 + \frac{\sqrt{3} }{2} + \frac{i}{2})^{24}[/tex]

Answers & Comments

yugolovin

Verified answer

$\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^{24}=\left(1+\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)^{24}=\left(2\cos^2\frac{\pi}{12}+2i\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12}\right)^{24}=$

$=\left(2\cos\frac{\pi}{12}\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right)\right)^{24}=2^{24}\cos^{24}\frac{\pi}{12}\left(\cos\frac{24\pi}{12}+i\sin\frac{24\pi}{12}\right)=$

$=2^{24}\left(\cos^2\frac{\pi}{12}\right)^{12}\left(\cos2\pi+i\sin 2\pi\right)=2^{24}\cdot\left(\frac{1+\cos\frac{\pi}{6}}{2}\right)^{12}(1+0i)=$

$=2^{24}\cdot\frac{(1+\sqrt{3}/2)^{12}}{2^{12}}=2^{24}\cdot\frac{(2+\sqrt{3})^{12}}{2^{24}}=(2+\sqrt{3})^{12}$

Думаю, что это и есть предполагаемый ответ, поскольку возвести двучлен $2+\sqrt{3}$ в 12-ю степень с помощью бинома Ньютона, конечно, можно, но довольно утомительно.

2 votes Thanks 1

yugolovin косинус pi/6 и синус pi/6 - это табличные значения, далее я воспользовался формулами 1+\cos a=2\cos^2 (a/2) и sin a=2\sin(a/2)\cos(a/2)

avion321321 а где вы взяли pi/6

yugolovin корень из 3/2 - это косинус 30 градусов, то есть pi/6. Аналогично с синусом. Это табличные значения

avion321321 это понятно, но по какой формуле вы высчитывали угол? Стандартная формула - arctg(b/a), pi + arctg(b/a) (во второй четверти), -pi + arctg(b/a) (в третьей четверти). Объясните алгоритм нахождения угла?

yugolovin Я понимаю, что Вы хотите сказать. Более того, задачу можно сделать Вашим способом. Но мой способ более простой, только нужно Вам в нем разобраться. Я не стал искать модуль и аргумент по общим формулам, а просто воспользовался тригонометрическими формулами. Ключевой момент - в начале второй строчки. Я там получил после вынесения общего множителя 2\cos \p1/12 - это положительное число, стоящее перед скобкой (\cos a+i\sin a).

yugolovin Поэтому это положительное число является модулем, а аргумент косинуса и синуса в скобке - аргументом

yugolovin На занятиях я даю студентам оба способа. Второй большинству нравится больше.

avion321321 Как я понял, вы перевели в тригонометрическое представление sqrt(3)/2 + i/2? Но вот как вы перешли из (1 + cos(pi/6) + isin(pi/6)) в (2cos^2(pi/12) + 2isin(pi/12) * cos(pi/12) не очень понятно?

avion321321 P.S Получается можно разделить в комплексном числе вещественную часть, а затем представить его в тригонометрическом виде и прибавить отделенную вещественную часть?

yugolovin Я пользуюсь тем, что если удается представить комплексное число в виде r(\cos ф+i\sin ф), где r>0, то r является модулем этого числа, a ф является аргументом этого числа. Поэтому на первом этапе решения я предлагаю немного расслабиться, забыть про комплексные числа, а вместо этого немного поработать с тригонометрическими формулами. Если Вы их плохо знаете, повторите, а потом снова посмотрите мое решение

Answers & Comments

Verified answer

tex]...

najti linejnoe predstavleniya nod8229558890

tex]...

dokazat chto a 1 a

tex] ?...

tex]...

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social