Ответ:

Почленовая интеграция:

Интеграл константы, умноженной на функцию равен интегралу функции умноженной на константу:

\int \frac{2 x^{5}}{3}\, dx = \frac{2}{3} \int x^{5}\, dx∫32x5dx=32∫x5dx

Интегралом от \displaystyle x^{n}xn равен \displaystyle \frac{x^{n + 1}}{n + 1}n+1xn+1 когда \displaystyle n \neq -1n=−1:

\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}∫x5dx=6x6

Таким образом, результат равен: \displaystyle \frac{x^{6}}{9}9x6

Не известны шаги для нахождения данного интеграла.

Но это интеграл равен

\frac{\sqrt{5} x \Gamma{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3 \Gamma{\left(\frac{4}{3} \right)}} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} - \frac{1}{2}, \frac{1}{3} \\ \frac{4}{3} \end{matrix}\middle| {\frac{x^{3}}{5} e^{i \pi}} \right)}3Γ(34)5xΓ(31)2F1(−21,3134∣∣5x3eiπ)

Интеграл константы, умноженной на функцию равен интегралу функции умноженной на константу:

\int - \frac{4}{x}\, dx = - 4 \int \frac{1}{x}\, dx∫−x4dx=−4∫x1dx

Результат равен:\ln{x}lnx

Таким образом, результат равен: \displaystyle - 4 \ln{\left (x \right )}−4ln(x)

Результат равен: \displaystyle \frac{x^{6}}{9} + \frac{\sqrt{5} x \Gamma{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3 \Gamma{\left(\frac{4}{3} \right)}} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} - \frac{1}{2}, \frac{1}{3} \\ \frac{4}{3} \end{matrix}\middle| {\frac{x^{3}}{5} e^{i \pi}} \right)} - 4 \ln{\left (x \right )}9x6+3Γ(34)5xΓ(31)2F1(−21,3134∣∣5x3eiπ)−4ln(x)

Добавьте постоянную интегрирования:

\frac{x^{6}}{9} + \frac{\sqrt{5} x \Gamma{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3 \Gamma{\left(\frac{4}{3} \right)}} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} - \frac{1}{2}, \frac{1}{3} \\ \frac{4}{3} \end{matrix}\middle| {\frac{x^{3}}{5} e^{i \pi}} \right)} - 4 \ln{\left (x \right )}+ \mathrm{const}9x6+3Γ(34)