Решите уравнение: [tex]4(3x\sqrt{1-x^2}+4x^2-2)=5(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x} )[/tex].. Created by egyptni. algebra-ru

ОДЗ здесь такое: ; С учетом области значений можно сделать интересную замену: ;Перепишем: (я сразу преобразовывал).Слева в скобках: ; Итого:; Осталось вспомнить формулу дополнительного угла: ;Это уравнение уже легко решается: и . С учетом ОДЗ (это ) получаем и ; Поскольку , то

tex]...

egyptni @egyptni

August 2022 1 22 Report

Решите уравнение:

[tex]4(3x\sqrt{1-x^2}+4x^2-2)=5(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x} )[/tex].

Answers & Comments

Guerrino

ОДЗ здесь такое: $x\in[-1,\;1]$ ; С учетом области значений можно сделать интересную замену: $\sqrt{1-x}=\sqrt{2}\sin u,\; \sqrt{1+x}=\sqrt{2}\cos u$ ;

Перепишем: $4(3\cos2u\times\sin2u+4\cos^{2}2u-2)=5\sqrt{2}(\sin u+\cos u)$ (я сразу преобразовывал).

Слева в скобках: $3\cos2u\times\sin2u+2(2\cos^{2}2u-1)=\frac{3}{2}\sin4u+2\cos4u$ ; Итого:

$6\sin4u+8\cos4u=5\sqrt{2}(\sin u+\cos u)$ ; Осталось вспомнить формулу дополнительного угла: $10\sin(4u+\arcsin(\frac{8}{10}))=10\sin(u+\frac{\pi}{4})\Leftrightarrow \sin(4u+\arcsin(\frac{8}{10}))=\sin(u+\frac{\pi}{4})$ ;

Это уравнение уже легко решается: $u=\frac{\pi}{12}-\frac{\arcsin(8/10)}{3}+\frac{2\pi k}{3},\; k\in\mathbb{Z}$ и

$u=\frac{3\pi}{20}-\frac{\arcsin(8/10)}{5}+\frac{2\pi t}{5},\;t\in \mathbb{Z}$ . С учетом ОДЗ (это $\cos u\geq 0,\; \sin u\geq 0$ ) получаем $u=\frac{3\pi}{20}-\frac{\arcsin(8/10)}{5}+2\pi t,\; t\in\mathbb{Z}$ и $u=\frac{3\pi}{20}-\frac{\arcsin(8/10)}{5}+\frac{2\pi}{5}+ 2\pi t,\; t\in\mathbb{Z}$ ; Поскольку $x=\cos2u$ , то

$x=\cos(\frac{3\pi}{10}-\frac{2\arcsin(8/10)}{5} )$

$x=\cos(\frac{3\pi}{10}-\frac{2\arcsin(8/10)}{5}+\frac{4\pi}{5})$

2 votes Thanks 1

nafanya2014 В первой скобке в условии 3*х умножается на корень...

Guerrino умножается, да

antonovm только ОДЗ здесь [ -1 ; 1] и уравнение это имеет 2 корня , а не 4 , x1 примерно - 0,99 ( он у вас не входит в ОДЗ) и 0,8 ( приблизительно)

Guerrino у меня пока вышел 1 корень...

antonovm постройте график в геогебре или решите в Вольфраме , там увидите эти корни

Guerrino теперь все

antonovm да , только не уверен , что пользователь поймет вашу замену , сумма квадратов двух неотрицательных чисел равна 2 , если эти числа лежат на дуге ( четверти ) окружности с радиусом корень из 2 , а значит их можно записать как корень из 2 *cost и корень из 2 sin t

Answers & Comments

dayu 100 ballov tochka m vybrana vne ploskosti abcd tak chto otrezki am bm i cm

21sin(x) + 20cos(x) = 14,5...

cos(6x) - sqrt(2)cos(5pi - 3x) + 1 = 0...

tex]...

v pravilnoj prizme abca1b1c1 tochka m seredina rebra a1b1 ab 20 aa1 20sq

pridumat i reshit slozhnuyu tekstovuyu zadachu na dvizhenie rabotu ili rastvory

chem otlichayutsya obychai i tradicii

dayu mnogo ballov v oktaedre pabcdq naibolshaya diagonal ravna 6 izvestno chto

tex]...

dayu 100 ballov v kube abcda1b1c1d1 m seredina b1c1 f seredina d1c1 najdit

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social