Доказать неравенство [tex] \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2} [/tex]. Created by ArtyomO. algebra-ru

--------------------------------------------------------------------- (*)учитывая неравенство между средними арифметическим и средним геометрический для трех положительных чиселполучимчто т.е. справедливость неравенства (*) тождественного исходному.Доказано

tex]...

ArtyomO @ArtyomO

July 2022 1 14 Report

Доказать неравенство
[tex] \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2} [/tex]

Answers & Comments

dtnth

Verified answer

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$
-----------
$\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{a+c}+1+\frac{c}{a+b} +1 \geq \frac{3}{2}+3$
-----------
$\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+c} \geq \frac{9}{2}$
--------------------
$(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}) \geq \frac{9}{2}$
----------
$(\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{a+c}{2})(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}) \geq \frac{9}{2}$
-----------------
$((a+b)+(b+c)+(a+c)) (\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}) \geq 9$ (*)
учитывая неравенство между средними арифметическим и средним геометрический для трех положительных чисел
$A+B+C \geq 3 \sqrt[3] {ABC}$
получим
что
$((a+b)+(a+c)+(b+c)) (\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}) \geq \\\\3\sqrt[3] {(a+b)(a+c)(b+c)}*3 \sqrt{\frac{1}{(a+b)(b+c)(a+c)}}=9$
т.е. справедливость неравенства (*) тождественного исходному.
Доказано

1 votes Thanks 0

Answers & Comments

Verified answer

tex v tochke m31

perevesti na anglijskij yazyk 1 vsyo obrazuetsya ostav vsyo kak est 2 v stolo

perevesti na anglijskij 1 kakie fakultativnye kursy vam budut chitat v etom

reshit uravnenie vo vlozhenii87271f27f7b40c38f1bdd4d06e97be13 81007

perevesti predlozheniya na russkij yazyk 1 on seeing her favourite singer she thr

perevesti predlozheniya na anglijskij yazyk 1 gornolyzhnyj sport v nashi dni stal s

trigonometriya 10 klass06309f81e34e14df805b13404914e578 95434

trigonometriya 10 klass868af0d9168437d583b8c60ae22d308d 12375

zadanie vo vlozhenii spasibo

zadanie vo vlozhenii zaranee spasibodaaafcc65d521dfd41316d0c45f75a54 80031

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social