В треугольнике ABC проведены высоты АА₁ и ВВ₁ .Чему равен угол С , если AB=6 и А₁В₁ =3√3.

Объяснение:

Тк АА₁, ВВ₁ -высоты , то около четырехугольника АВА₁В₁ можно описать окружность( свойство ортоцентра ) , АВ-диаметр. Тогда радиус равен 3. Поэтому ОВ₁=ОА₁=3  

Применим т. косинусов для ΔОА₁В₁ : А₁В₁²=ОА₁²+ОВ₁²-2*ОА₁*ОВ₁*cos∠А₁OВ₁

(3√3)²=3³+3²-2*3*3*cos∠А₁OВ₁ ,  cos∠А₁OВ₁= -0,5 ⇒ ∠А₁OВ₁ =120°.  

Угол ∠А₁OВ₁- центральный ,поэтому градусная мера ∪А₁В₁=120°.

По т. об угле, образованным секущими, которые пересекаются вне круга : ∠ACB=(180°-120°):2=30°

=============

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.