Сложим эти два уравнения: (u + v)^2 = 1 + (1 + sqrt(2))(u + v - 1)
Замена: x = u + v x^2 = 1 + (1 + sqrt(2))(x - 1) x^2 - (1 + sqrt(2))x + sqrt(2) = 0 Корни легко угадать по теореме Виета: x = 1 или x = sqrt(2)
x = u + v = sin(2x) + cos(2x) = sqrt(2) sin(2x + pi/4)
x = 1: sqrt(2) sin(2x + pi/4) = 1 sin(2x + pi/4) = 1/sqrt(2) 2x + pi/4 = pi/4 + 2pi n или 2x + pi/4 = 3pi/4 + 2pi m 2x = 2pi n или 2x = pi/2 + 2pi m x = pi n или x = pi/4 + pi m
x = sqrt(2): sqrt(2) sin(2x + pi/4) = sqrt(2) sin(2x + pi/4) = 1 2x + pi/4 = pi/2 + 2pi k 2x = pi/4 + 2pi k x = pi/8 + pi k
Answers & Comments
Verified answer
Для небольшого сокращения объема выкладок обозначим u = sin(2x) и v = cos(2x)Исходное уравнение:
2uv = (1 + sqrt(2))(u + v - 1)
О.т.т.:
u^2 + v^2 = 1
Сложим эти два уравнения:
(u + v)^2 = 1 + (1 + sqrt(2))(u + v - 1)
Замена: x = u + v
x^2 = 1 + (1 + sqrt(2))(x - 1)
x^2 - (1 + sqrt(2))x + sqrt(2) = 0
Корни легко угадать по теореме Виета:
x = 1 или x = sqrt(2)
x = u + v = sin(2x) + cos(2x) = sqrt(2) sin(2x + pi/4)
x = 1: sqrt(2) sin(2x + pi/4) = 1
sin(2x + pi/4) = 1/sqrt(2)
2x + pi/4 = pi/4 + 2pi n или 2x + pi/4 = 3pi/4 + 2pi m
2x = 2pi n или 2x = pi/2 + 2pi m
x = pi n или x = pi/4 + pi m
x = sqrt(2): sqrt(2) sin(2x + pi/4) = sqrt(2)
sin(2x + pi/4) = 1
2x + pi/4 = pi/2 + 2pi k
2x = pi/4 + 2pi k
x = pi/8 + pi k
Verified answer
Sin(4x)=2sin(2x)cos(2x)=2sin(2x)cos(2x)=2*(2 tg( x)/(1 + tg^2(x))*(1- tg^2( x)/(1 + tg^2(x))(1+ корень(2))(sin(2x)+cos(2x)-1)=(1+ корень(2))((2 tg( x)/(1 + tg^2(x))+(1- tg^2( x)/(1 + tg^2(x))-1) =
=(1+ корень(2))(2 tg( x)+1- tg^2( x)-1 - tg^2(x))/(1 + tg^2(x)) = (1+ корень(2))(2 tg( x)- 2tg^2( x))/(1 + tg^2(x))
sin(4x)=(1+ корень(2))(sin(2x)+cos(2x)-1)
=>
2*(2 tg( x)/(1 + tg^2(x))*(1- tg^2( x)/(1 + tg^2(x)) = (1+ корень(2))(2 tg( x)- 2tg^2( x))/(1 + tg^2(x))
2*(2 tg( x)*(1- tg^2( x)= (1+ корень(2))(2 tg( x)*(1- tg( x))*(1 + tg^2(x))
=>
(2 tg( x)*(1- tg( x))(1+tg(x))= (1+ корень(2))( tg( x)*(1- tg( x))*(1 + tg^2(x))
=>
(2 tg( x)*(1- tg( x))(1+tg(x))-(1+ корень(2))( tg( x)*(1- tg( x))*(1 + tg^2(x)) =0
=>
tg( x) * (1- tg( x)) * (2*(1+tg(x))- (1+ корень(2))(1 + tg^2(x))) =0
tg(x)=0 или tg(x)=1 или 2*(1+tg(x))- (1+ корень(2))(1 + tg^2(x)) =0
1)
tg(x)=0 => x=pi*k
2)
tg(x)=1 => x=pi/4+pi*k
3)
2*(1+tg(x))- (1+ корень(2))(1 + tg^2(x)) = 0
tg^2(x)-tg(x)*2/(1+ корень(2))+1-2/(1+ корень(2))=0
tg^2(x)-tg(x)*2/(1+ корень(2))+(корень(2)-1)/(1+ корень(2))=0
tg^2(x)-tg(x)*2*(корень(2)-1)+(корень(2)-1)^2=0
(tg(x)-(корень(2)-1))^2=0
tg(x)=корень(2)-1
x=arctg(корень(2)-1)+pi*k=pi/8+pi*k
1) перешел от четверного угла к двойному
2) выразил синусы и косинусы двойного угла через тангенс одинарного угла