Для логарифма Область Допустимых Значений (она же - ОДЗ) выглядит так (это нам понадобится для решения задачи): A)Рассмотрим логарифм . С точки зрения ОДЗ и того, что и , с этим логарифмом все хорошо.Но, так как основание логарифма меньше единицы, то его значение больше ноля при , а меньше ноля - при . Из данного в задаче условия на имеем, что . Значит, выражение этого логарифма отрицательно.Но что тогда можно сказать о втором логарифме? Для него подлогарифмическое выражение меньше ноля, что нас абсолютно не устраивает.Итог: выражение не имеет смысла.B)Рассуждаем по аналогии: - существует и больше ноля (так как и ). Основание и подлогарифмическое выражение не только соответствуют ОДЗ, но и оба меньше единицы. - тоже существует, так как и , а также подлогарифмическое выражение больше ноля.Итог: выражение имеет смысл.C)Решаем с использованием уже оговоренных схем: - существует и больше единицы (так как ). - существует и меньше ноля (так как и ). - не очень хорошо существует, в силу отрицательности подлогарифмического выражения.Итог: выражение не имеет смысла.D) - существует и меньше ноля (так как и ). - не существует, так как . - не существует, так как уже его подлогарифмическое выражение не существует.Итог: выражение не имеет смысла. Ответ : B ) .

tex]Желательно с объяснением, спасибо!...

gnomiha211 @gnomiha211

July 2022 1 15 Report

лф18) Если 0<a<1 , то какое из приведенных выражений имеет смысл?
A)
[tex] log_{2}( log_{a}(a + 1) ) [/tex]
B)
[tex] log_{a}( log_{a}( \frac{\pi}{4} ) ) [/tex]
C)
[tex] log_{2}( log_{a}( log_{2}(3) ) ) [/tex]
D)
[tex] log_{10}( log_{10}( log_{10}(a) ) ) [/tex]
Желательно с объяснением, спасибо!

Answers & Comments

Olga8128

Для логарифма $\displaystyle \log _x y$ Область Допустимых Значений (она же - ОДЗ) выглядит так (это нам понадобится для решения задачи):

$\log_xy \;\;\; \Rightarrow \;\;\; \displaystyle \begin{equation*} \begin{cases}x>0 \\x\ne1 \\y>0 \end{cases}\end{equation*}$

A)

Рассмотрим логарифм $\log _a(a+1)$ . С точки зрения ОДЗ и того, что $0$ и $1 < a+1 < 2$ , с этим логарифмом все хорошо.

Но, так как основание логарифма меньше единицы, то его значение больше ноля при $0 < a+1 < 1$ , а меньше ноля - при $a+1>1$ . Из данного в задаче условия на $a$ имеем, что $1 < a+1 < 2$ . Значит, выражение этого логарифма отрицательно.

Но что тогда можно сказать о втором логарифме? Для него подлогарифмическое выражение меньше ноля, что нас абсолютно не устраивает.

Итог: выражение не имеет смысла.

B)

Рассуждаем по аналогии:

$\log_a \bigg ( \dfrac{ \pi }{4} \bigg )$ - существует и больше ноля (так как $0$ и $0< \pi / 4 < 1$ ). Основание и подлогарифмическое выражение не только соответствуют ОДЗ, но и оба меньше единицы.

$\log_a \bigg ( \log_a \bigg ( \dfrac{ \pi}{4} \bigg ) \bigg )$ - тоже существует, так как $a>0$ и $a \ne 1$ , а также подлогарифмическое выражение больше ноля.