Пусть ABCD - ромб, в который вписана окружность касающаяся стороны AB в точке K.
Пусть O - центр окружности, тогда OK - ее радиус.
Длина окружности равна l = 2pi*R = 24pi  => R = 12 см. Т.о. OK = 12 см.

Обозначим длину AK за x  => по условию задачи KB = x+10.

Рассмотрим треугольники AKO и OKB. Они подобны по первому признаку подобия.
=> AK:OK = OK:KB  <=> x/12 = 12/(x+10)  <=> x^2 + 10x - 144 = 0
Это уравнение имеет единственное подходящее решение:
D = 100 + 4*144 = 676 => x1 = (-10 + 26)/2 = 8,  x2 = (-10-26)/2 = -18  => AK = 8 см
=> KB = 8 + 10 = 18 см   => сторона ромба равна 8 + 18 = 26 см.

Высота ромба равна диаметру окружности, то есть 2R = 24 cм.

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, опущенную на эту сторону  =>
Для нашего ромба получаем, что площадь равна S = 26*24 = 624 кв. см.

Ответ:  624 кв. см.