Треугольник со сторонами 13,14 и 15 см вращается вокруг средней стороны.Найти поверхность тела. 

Тело вращения будет походить на детскую игрушку юла.  

Т.е. верхняя  и нижняя части - два конуса с  общим основанием АА₁ и радиусом, равным высоте АО  данного треугольника, проведенным к средней по величине стороне, равной 14 см.

 Чтобы найти эту высоту, нужно найти по формуле Герона площадь треугольника. Вычисления приводить не буду - треугольник с такими сторонами  встречается в задачах часто, его площадь  легко запоминается и равна 84 см² 

S=a*h:2, где а - сторона, h- высота к ней. 

2S=a*h 

 h=2S:а 

h=168:14=12 см - это радиус окружности - общего основания конусов.

Рассмотрим рисунок. 

Площадь тела равна сумме площадей боковых поверхностей конуса АВА₁ и конуса АСА₁ 

S =πrl 

S₁=π*12*13 

S₂=π*12*15 

S общ=12π(13+15)=336 π 

при π=3,14 

S=1055,04см² 

при π полном ( на калькуляторе) 

Ответ: S=1055,575 см²