(Тригонометрия) Решить4 примера:
(Учитывая ОДЗ)
1) {cos²2x-sin²x=0
{sin3x -1≠0 - это ОДЗ(ООФ) ⇒ sin3x≠1, 3x≠π/2+πn, x≠π/6+πn/3, n∈Z
(cos²x-sin²x)²-sin²x=0
cos⁴x-2sin²xcos²x+sin⁴x-sin²x=0
Рассмотримвыражение 1=1²=(sin²x+cos²x)²= sin⁴x+2sin²xcos²x+cos⁴x, тогда
sin⁴x+cos⁴x=1-2sin²xcos²x
Теперь заменим сумму 4-ых степеней в уравнении:
1-4sin²xcos²x-sin²x=0, Заменим 1-sin²x=cos²x из тригон-ой единицы
cos²x-4sin²xcos²x=0, cos²x(1-4sin²x)=0 ⇒
a)cos²x=0, cosx=0, x=π/2+πk, k∈Z
b)1-4sin²x=0. Формула: sin²x=(1-cos2x)/2
1-2(1-cos2x)=0, 2cos2x=1, cos2x=1/2, 2x=±π/3+πm, x=±π/6+πm/2, m∈Z
Ответ:x= x=±π/6+πm/2 при m= ±2, ±4,...(четные m) [ или x=±π/6+πm)
3) √cosx*sinx=0 ОДЗ:cosx≥0 ⇒ -π/2+2πn≤x≤π/2+2πn, n∈Z
a) cosx=0, x=π/2+πk, k∈Z
b) sinx=0, x=πm, m∈Z
Ответ: x=π/2+πk, k∈Z, x=2πm,m∈Z
4)√sinx(4-5cosx-2sin²x)=0 ОДЗ:sinx≥0, 2πn≤x≤π+2πn, n∈Z
a) sinx=0, x=πk, k∈Z
b) 4-5cosx-2sin²x=0, sin²x=1-cos²x
4-5cosx-2+2cos²x=0, 2cos²x-5cosx+2=0, Пусть t=cosx, тогда
2t²-5t+2=0, D=25-16=9, t₁=(5-3)/4=1/2, t₂=2
cosx=1/2, x=±π/3+2πm, m∈Z
cosx≠2, т.к. -1≤cosx≤1
Ответ: x=+π/3+2πm, m∈Z (x= -π/3+2πm не входит в ОДЗ), х=πк, к∈Z
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Verified answer
1) {cos²2x-sin²x=0
{sin3x -1≠0 - это ОДЗ(ООФ) ⇒ sin3x≠1, 3x≠π/2+πn, x≠π/6+πn/3, n∈Z
(cos²x-sin²x)²-sin²x=0
cos⁴x-2sin²xcos²x+sin⁴x-sin²x=0
Рассмотримвыражение 1=1²=(sin²x+cos²x)²= sin⁴x+2sin²xcos²x+cos⁴x, тогда
sin⁴x+cos⁴x=1-2sin²xcos²x
Теперь заменим сумму 4-ых степеней в уравнении:
1-4sin²xcos²x-sin²x=0, Заменим 1-sin²x=cos²x из тригон-ой единицы
cos²x-4sin²xcos²x=0, cos²x(1-4sin²x)=0 ⇒
a)cos²x=0, cosx=0, x=π/2+πk, k∈Z
b)1-4sin²x=0. Формула: sin²x=(1-cos2x)/2
1-2(1-cos2x)=0, 2cos2x=1, cos2x=1/2, 2x=±π/3+πm, x=±π/6+πm/2, m∈Z
Ответ:x= x=±π/6+πm/2 при m= ±2, ±4,...(четные m) [ или x=±π/6+πm)
3) √cosx*sinx=0 ОДЗ:cosx≥0 ⇒ -π/2+2πn≤x≤π/2+2πn, n∈Z
a) cosx=0, x=π/2+πk, k∈Z
b) sinx=0, x=πm, m∈Z
Ответ: x=π/2+πk, k∈Z, x=2πm,m∈Z
4)√sinx(4-5cosx-2sin²x)=0 ОДЗ:sinx≥0, 2πn≤x≤π+2πn, n∈Z
a) sinx=0, x=πk, k∈Z
b) 4-5cosx-2sin²x=0, sin²x=1-cos²x
4-5cosx-2+2cos²x=0, 2cos²x-5cosx+2=0, Пусть t=cosx, тогда
2t²-5t+2=0, D=25-16=9, t₁=(5-3)/4=1/2, t₂=2
cosx=1/2, x=±π/3+2πm, m∈Z
cosx≠2, т.к. -1≤cosx≤1
Ответ: x=+π/3+2πm, m∈Z (x= -π/3+2πm не входит в ОДЗ), х=πк, к∈Z