Уважаемые МОЗГи! Задание, достойное Вас!! Найти общее решение линейного однород...

July 2022 1 27 Report

Уважаемые МОЗГи! Задание, достойное Вас!!
Найти общее решение линейного однородного уравнения с переменным коэффициентом.
Если можно, с подробным (пошаговым) решением.
Заранее спасибо))

Answers & Comments

igorShap

Verified answer

Ответ:

1) $y=C_1cosx+C_2e^x$

2) $y=C_1x^3+C_2e^x$

Пошаговое объяснение:

ЛОДУ 2ого порядка с переменными коэффициентами имеет вид $a_0(x)y''+a_1(x)y'+a_2(x)=0$

Общее решение такого ДУ - линейная комбинация двух его линейно независимых частных решений.

В обоих заданиях необходимо заметить, что сумма коэффициентов $a_i(x)$ равна 0. Значит, очевидно, одним из частных решений данного ДУ будет функция $y_2=e^x$ [и действительно: $y_2''=y_2'=y_2$ , а тогда уравнение принимает вид $e^x(a_1(x)+a_2(x)+a_3(x))=0\Rightarrow e^x*0=0$ - верное равенство].

1) Рассмотрим Вронскиан системы $y_1(x),y_2(x)$ :

$W(x)=\left|\begin{array}{cc}cos(x)&e^x\\-sin(x)&e^x\end{array}\right|=e^x(cosx+sinx)\not\equiv0$

Значит, данные частные решения линейно независимы - а тогда общее решение имеет вид $y=C_1cosx+C_2e^x$ .

2) Очевидно искать частное решение в виде многочлена. Пусть его старший член равен $x^n,n\in N$ [коэффициент при старшей степени не имеет значения, т.к. уравнение однородное], т.е. $y_1(x)=x^n+P_{n-1}(x)$ .

Тогда

$(x^2-3x)(n(n-1)x^{n-2}+P''_{n-1}(x))+(6-x^2)(nx^{n-1}+P'_{n-1}(x))+(3x-6)(x^n+P_{n-1}(x))=0\\ x^{n}(n(n-1))+x^2P''_{n-1}(x)-3n(n-1)x^{n-1}-3xP''_{n-1}(x)+6nx^{n-1}+6P'_{n-1}(x)-\\ -nx^{n+1}-x^2P'_{n-1}(x))+3x^{n+1}+3xP_{n-1}(x)-6x^n-6P_{n-1}(x)=0$

То есть коэффициент при старшей степени $x^{n+1}$ получаемого в левой части многочлена равен $3-n$ [степень $P'_{n-1}(x)$ не выше $n-2$ , а $P''_{n-1}(x)$ не выше $n-3$ ]. Но в правой части тождественный ноль - а значит если некий многочлен и является частным решением уравнения, то это многочлен степени 3.