Решение Вкубе ABCDA1B1C1D1 найдите синус угла междупрямой AB и плоскостью CB1D1 решение во вкладыше
Так как АВ // D1 C1 ,угол между прямой АВ и плоскостью СB1D равен углу между прямой D1C1и плоскостью СB1D. По теореме о трёх перпендикулярах прямая AC1 перпендикулярна прямой B1D1, ак какортогональная проекция A1C1 наклонной AC1 наплоскость A1B1C1D1 перпендикулярна прямой B1D1, лежащей в этойплоскости. Аналогично AC1 перпендикулярна CB1. Так как прямая AC1 перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости СB1D1,эта прямая перпендикулярнаплоскости СB1D1. Пусть O1 центрграни A1B1C1D1. Рассмотрим прямоугольник AA1C1C. Точка O1 - середина его стороны B1D1, а точка Mпересечения AC1 и CO1 - это точка пересечения диагонали AC1 сплоскостью CB1D1. Из подобия треугольников C1MO1 и AMCпо второму признаку: < C1MD1 = < AMC каквертикальные и < C1AC = < A1C1B1как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АС и А1С1) следует, что C1M/ MA= C1O1/ AC = 1 : 2 Таким образом, C1M - перпендикуляр к плоскости CB1D1, причём, если ребро куба равно a, то C1M = (1/3) AC1 = (1/3)a√3, а D1M - ортогональная проекция наклонной C1D1 на эту плоскость. Поэтому <C1D1M - искомый угол прямой C1D1 (азначит, и AB) с плоскостью CB1D1. Из прямоугольного треугольника C1MD1 находим,что Sin<C1D1M = C1M / C1D1 = [(1/3)a√3] / a = √3 / 3.
Answers & Comments
Verified answer
РешениеВкубе ABCDA1B1C1D1 найдите синус угла междупрямой AB и плоскостью CB1D1
решение во вкладыше
Так как АВ // D1 C1 ,угол между прямой АВ и плоскостью СB1D равен углу между прямой D1C1и плоскостью СB1D. По теореме о трёх перпендикулярах прямая AC1 перпендикулярна прямой B1D1, ак какортогональная проекция A1C1 наклонной AC1 наплоскость A1B1C1D1 перпендикулярна прямой B1D1, лежащей в этойплоскости. Аналогично AC1 перпендикулярна CB1. Так как прямая AC1 перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости СB1D1,эта прямая перпендикулярнаплоскости СB1D1.
Пусть O1 центрграни A1B1C1D1. Рассмотрим прямоугольник AA1C1C.
Точка O1 - середина его стороны B1D1, а точка Mпересечения AC1 и
CO1 - это точка пересечения диагонали AC1 сплоскостью CB1D1.
Из подобия треугольников C1MO1 и AMCпо второму признаку:
< C1MD1 = < AMC каквертикальные и < C1AC = < A1C1B1как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АС и А1С1) следует, что
C1M/ MA= C1O1/ AC = 1 : 2
Таким образом, C1M - перпендикуляр к плоскости CB1D1, причём,
если ребро куба равно a, то C1M = (1/3) AC1 = (1/3)a√3,
а D1M - ортогональная проекция наклонной C1D1 на эту плоскость. Поэтому <C1D1M - искомый угол прямой C1D1 (азначит, и AB) с плоскостью CB1D1.
Из прямоугольного треугольника C1MD1 находим,что
Sin<C1D1M = C1M / C1D1 = [(1/3)a√3] / a = √3 / 3.