. В основании четырехугольной пирамиды SАВСD лежит
ромб АВСD с диагоналями 12 и 16. Точка М лежит на середине
стороны ВС, а вершина пирамиды проектируется в точку
пересечения диагонали ВD и отрезка АМ. Грань АSD наклонена
к плоскости основания под углом 60. Найти объем пирамиды.
ромб АВСD с диагоналями 12 и 16. Точка М лежит на середине
стороны ВС, а вершина пирамиды проектируется в точку
пересечения диагонали ВD и отрезка АМ. Грань АSD наклонена
к плоскости основания под углом 60. Найти объем пирамиды.
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
Примем, что диагонали ромба равны: ВD=12 и АС=16.Сторона основания (ромба) находится по Пифагору:
АВ=√(АО²+ВО²)=√(6²+8²)=10.
Площадь ромба равна: S=(1/2)*D*d=S=(1/2)*16*12=96.
В треугольнике АВС АМ и ВО - медианы и по свойству медиан точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Значит ОР=ВО:3=6:3=2. Тогда РD=PO+OD=2+6=8.
Площадь ромба равна и произведению высоты ромба на его сторону, то есть S=a*h, отсюда h=ВН=S/a=96/10=9,6.
Прямоугольные треугольники НВD и KPD подобны и КР/ВН=PD/BD или КР/9,6=8/12, отсюда КР=8*9,6/12=6,4.
В прямоугольном треугольнике SKP угол SKP=60°, значит <KSP=30° и КР=0,5КS.
Тогда по Пифагору SP=√[(12,8)²-(6,4)²]=6,4√3.
Объем пирамиды равен (1/3)So*h, где Sо - площадь основания, а h - высота пирамиды. Тогда V=(1/3)*96*6,4√3=204,8√3.
Ответ: V=204,8.